本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点。
“查尔斯·桑德斯·皮尔斯曾观察到，在数学的其他任何分支中，专家都像在概率论中那样容易犯错。”
这是一篇由著名数学专栏作家马丁·加德纳于1959年10月在《大众科学》杂志上发表的文章的开头。事实上，正如约翰·艾伦·保罗斯在去年一月号（“动物本能”[进展]）中观察到的那样，人类在评估概率时有时甚至比鸽子还糟糕。
关于支持科学新闻报道
如果您喜欢这篇文章，请考虑通过以下方式支持我们屡获殊荣的新闻报道： 订阅。通过购买订阅，您正在帮助确保未来能够继续讲述关于塑造我们当今世界的发现和思想的具有影响力的故事。
保罗斯是费城天普大学的数学家，他当时正在描述一个臭名昭著的棘手问题，即蒙提霍尔悖论。事实上，这个问题非常棘手，多年来，许多专业的数学家和统计学家都曾被它绊倒。许多人即使在被告知正确答案后，仍然反复未能理解它。
根据《纽约时报》记者约翰·蒂尔尼》于1991年7月21日发表的一篇文章，此前一年，一位名叫玛丽莲·沃斯·萨文特的作家在杂志上描述了蒙提霍尔问题及其不可思议的解决方案，之后她收到了大约10,000封信，其中大多数声称他们可以证明她是错的。“最激烈的批评，”蒂尔尼写道，“来自数学家和科学家，他们一会儿幸灾乐祸地嘲笑她（‘你是那只山羊！’），一会儿又哀叹这个国家的数学盲。”
果然，在保罗斯在《大众科学》杂志上提到蒙提霍尔问题后，许多读者（虽然远不及10,000封）写信抱怨他完全错了，或者只是承认他们感到困惑。
一位读者写道：“保罗斯表现出对基本条件概率的奇怪的缺乏理解，因此他的文章是胡说八道。” 这位读者补充说，保罗斯的错误动摇了他对该杂志的信任。“你们评估投稿论文的程序是什么？” 他写道。这位读者是一位退休的统计学教授。
因此，我们认为尝试澄清一下情况可能是有价值的。这个蒙提霍尔问题是什么，它到底复杂在哪里？
蒙提霍尔问题是由一位美国统计学家于1975年提出的，作为受蒙提霍尔的问答节目“让我们来做个交易”启发的概率论的测试研究。（学者们已经观察到，蒙提霍尔问题在数学上与法国数学家约瑟夫·伯特兰于1889年提出的一个问题相同——也与加德纳在他1959年的文章中提出的一个问题（称为三囚徒博弈）相同；稍后会详细介绍。）让我们听听保罗斯对这个游戏的描述
节目中的嘉宾必须在三扇门中选择一扇，其中一扇门后有奖品。嘉宾说出他的选择，主持人打开剩余两扇关闭的门中的一扇，总是小心翼翼地确保打开的门后没有奖品。嘉宾应该换到剩下的那扇关闭的门吗？大多数人选择坚持他们最初的选择，这是错误的——切换会使他们获胜的机会从 1/3 增加到 2/3。（嘉宾最初选择正确的概率为 1/3，这不会改变。）即使在多次玩游戏后，这将有充足的机会观察到切换会使获胜的机会增加一倍，但最近一项研究中的大多数人只在 2/3 的时间内进行了切换。鸽子做得更好。尝试几次后，鸟类学会了每次都切换。
但是等一下，您说：在蒙提打开门后，只剩下两个选项。那么，每个选项的几率必须是 50-50，或 1/2，因此改变门的选择没有任何区别。
为了理解发生了什么，我们首先必须做一些假设，因为就目前而言，问题的表述是模棱两可的。因此，我们假设蒙提知道汽车在哪里，并且在玩家选择一扇门后，他总是打开剩下的两扇门中的一扇。此外，如果玩家的第一个选择是一扇藏着山羊的门，那么蒙提总是打开另一扇藏着山羊的门；但是，如果玩家选择了汽车，蒙提会在另外两扇门之间随机选择一扇打开，这两扇门都藏着山羊。
想象一下你是玩家。你做出选择：我们称之为 1 号门。三分之一的时间，这将是放着汽车的门，剩下的 2/3 的时间（66.666...%）这将是放着山羊的门。你不知道你选择了什么，所以你应该制定一个策略，最大限度地提高你获胜的总体几率。
假设你选择了一扇藏着山羊的门。蒙提现在打开另一扇藏着山羊的门——称之为 2 号门——并问你是否想坚持选择 1 号门，还是换到 3 号门（那是藏着汽车的那扇门）。显然，在这种情况下，通过切换你将获胜。但请记住，这种情况发生在 2/3 的时间内。
在剩下的 1/3 的时间内，如果你切换，你就会输，无论蒙提接下来打开哪扇门。但是，如果你采用始终切换的策略，无论如何，你都可以保证在 2/3 的时间内获胜。
看起来很简单，不是吗？但是，如果您碰巧了解一点概率论，并且您拿出纸笔开始计算，您可能会开始怀疑这个结论，就像一位精通统计学的读者所做的那样。
（警告：这篇文章从这里开始会变得更数学化。）
这位读者使用条件概率分析了这个问题，条件概率使您能够回答诸如“在事件 B 已经发生的情况下，事件 A 发生的几率是多少？”之类的问题。事件 A 的概率的常用符号是 P(A)，“给定 B 时 A 的概率”的符号是 P(A | B)。计算后者的公式是
P(A | B) = P(A 和 B 同时发生) / P(B)
这位读者写道
设 A 为奖品在 1 号门（最初选择的门）后的事件，设 B 为奖品不在 2 号门（已打开的门）后的事件。这里，A 意味着 B，所以 P(A 和 B 同时发生) = P(A) = 1/3，而 P(B) = 2/3。因此 P(A | B) = (1/3) / (2/3) = 1/2。与保罗斯教授的说法相反，从 1 号门切换到 3 号门没有任何好处。保罗斯教授说 P(A | B) = P(A) = 1/3 是错误的。
这种推理有什么问题？它似乎完全合理，事实上它让我头疼了一个小时左右。但它是有缺陷的。
蒙提打开哪扇门的概率取决于您作为玩家的最初选择。如果您选择了一扇藏着山羊的门，蒙提别无选择：他被迫打开另一扇藏着山羊的门。但是，如果您选择了藏着汽车的门，蒙提必须掷硬币（或类似的）才能决定打开哪扇门。但在任何一种情况下，蒙提都会打开一扇没有奖品的门。因此，“奖品不在 2 号门（已打开的门）后的事件”必然发生，这意味着 P(B) = 1。
因此，当我们应用该公式时，我们得到 P(A | B) = (1/3) / (1) = 1/3，而不是 1/2。汽车在 3 号门后的概率现在是 2/3，这意味着你最好切换。
蒙提霍尔悖论在数学上等同于加德纳在 1959 年提出的“一个非常令人困惑的小问题，涉及三名囚犯和一名狱长”。以下是加德纳的描述
三个人——A、B 和 C——被关在不同的牢房里，被判处死刑，这时州长决定赦免其中一人。他把他们的名字写在三张纸条上，把纸条放在帽子里摇晃，抽出一张，然后打电话给狱长，要求将这位幸运者的名字保密几天。这个传言传到了囚犯 A 的耳中。当狱长早上巡逻时，A 试图说服狱长告诉他谁被赦免了。狱长拒绝了。
“那你告诉我，”A 说，“另一个将被处决的人的名字。如果要赦免 B，就告诉我 C 的名字。如果要赦免 C，就告诉我 B 的名字。如果我要被赦免，就掷硬币来决定说出 B 还是 C 的名字。”
“但是，如果你看到我掷硬币，”谨慎的狱长回答说，“你就会知道你是被赦免的那个人。如果你看到我没有掷硬币，你就会知道要么是你，要么是我没有说出名字的那个人。”
“那就现在别告诉我，”A 说。“明天早上告诉我。” 狱长对概率论一窍不通，他那天晚上仔细考虑了一下，认为如果他按照 A 建议的程序去做，对 A 估计自己的生存机会没有任何帮助。所以第二天早上，他告诉 A 说 B 将被处决。
狱长离开后，A 对狱长的愚蠢暗自一笑。现在，在数学家喜欢称之为问题的“样本空间”中，只有两个等概率的元素。要么是 C 被赦免，要么是他自己，因此根据所有条件概率定律，他的生存机会已从 1/3 上升到 1/2。
狱长不知道 A 可以通过在水管上敲击密码与隔壁牢房的 C 通信。A 照做了，向 C 解释了他对狱长说了什么，以及狱长对他说的话。C 对这个消息同样欣喜若狂，因为他认为，按照 A 使用的相同推理，他自己的生存机会也提高到了 1/2。
这两个人推理正确吗？如果不是，他们应该如何计算自己被赦免的机会？
加德纳将答案留到了他的下一篇专栏文章中。