本文发表于《大众科学》的前博客网络，仅反映作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点。
我第一次接触高维空间有点虎头蛇尾。那是我在罗马上大学的最初几天，我坐在一个阶梯教室里，上的是所有一年级数学系学生必修的课程之一。
我不记得教授说的确切的话，但一定是类似这样的。* “设 x1, x2, … xn 为 n 个实数。有序集 (x1, …, xn) 是一个 n 维向量。所有 n 维向量的集合称为 n 维向量空间 Rn。”
就这样？没有需要穿越的时空扭曲，没有迷失在茫茫大海中的詹姆斯·T·柯克船长，也没有神秘博士来做我们的向导？只是这个朴实无华的人，像税务员列出要附在您的1040表格上的文件一样，给出正式的定义。（逐项扣除…W2…哦，我差点忘了：m维子空间。包括在内，但不要装订。）
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教授向我们介绍了人类有史以来最令人震惊的想法之一，但他这样做时没有事先通知，没有强调语气，甚至连语调都没有改变。
在随后的几年里，在罗马-拉萨皮恩扎大学，以及后来的研究生院，我花了比我可能想象的更多的时间来认真思考高维空间、居住在其中的奇怪物体以及研究它们的杰出头脑。我的毕业论文和博士论文都将完全以 n 维空间为背景。后来，当我离开学术界，成为一名记者，然后成为一名编辑时，我才意识到向“未入门者”解释这些概念有多么困难。
事实上，我了解到，对我来说，传达我非常熟悉的想法，往往比传达我刚刚了解的想法更难——正如记者所说，这就是“离故事太近”的现象。这也是为什么在我的转变，从数学家到作家的几年后，我很少写关于数学的文章，而是专注于报道物理学、宇宙学、考古学和其他主题的原因之一。
尽管多年来，高维空间的许多不同方面以不同的方式伴随着我，但基本思想都包含在我一年级教授给出的两行定义中。这就是自由度的概念。
每个额外的维度都会增加一个自由度，这让您可以移动到以前无法到达的地方或以以前无法实现的方式移动。（顺便说一句，这基本上就是空间三个方向“线性无关”的含义。）
人们无法“看到”比通常三个维度更多的维度，原因是，嗯，人们看不到它们。我们的大脑被设计用来帮助我们导航三维世界，并且没有空间在其中可视化更多维度。
在这里我要纠正自己：我们的大脑不是被训练来看到更多维度的。在我计划很快写的一篇文章中，我将讨论在我看来，人类应该能够构建超过三个维度的空间的心理地图。在做到这一点之前，数学家们使用各种技巧来，在某种意义上，可视化额外的维度，而无需真正可视化它们，正如我将在另一篇未来的文章中描述的那样。
但是正如数学家和物理学家早在 19 世纪就发现的那样，高维空间在理论和实践中都具有根本的重要性。它们是研究几何学和各种其他数学结构的完全合法的场所。它们是解决与我们的三维世界相关的问题不可或缺的工具。
例如，太阳系中行星的运动最好通过跟踪 60 维空间中单个点的轨迹来理解（六个自由度——三个用于位置，其余用于动量——对于九个行星加上太阳中的每一个）。现代基本粒子理论和力都基于额外的“内部”自由度。
博客正成为数学研究本身的重要工具，大多数与数学相关的博客都面向专家。一些数学博客确实迎合了更广泛的公众，有些方式相当创新。特别是Vi Hart，在我看来，开发了一种全新的媒介——与其说是博客，不如说是一种沉浸式体验，进入作者的头脑，在她纸上涂写东西的时候。（涂鸦博客？）
对于一个大众数学博客来说，很难避免收集常青的数学奇闻——黄金比例、分形、折纸、数独、埃舍尔面板和其他旨在展示“数学和艺术最终是同一件事”的图像。（正如我可能在未来的文章中讨论的那样，我碰巧认为它们不是。）在某种程度上，这个博客也不例外。
和其他博客一样，《自由度》除了对时事进行“数学角度”的解读外，还将包括偶尔的咆哮、狂欢、酷炫图片、突发新闻、采访、书评、客座文章、喜爱链接列表等等。但我向读者保证，该博客将名副其实，并在新的方向上发展——以读者以前从未见过的方式探索交叉领域的数学和物理学。
例如，我计划描述那些“看到”高维空间的技巧如何帮助您可视化宇宙的膨胀；或了解当我们观察大爆炸的余辉时，我们看到了什么，也就是宇宙微波背景辐射；或弦理论中奇异的“卡拉比-丘空间”。
最后一点说明，这对年轻读者来说可能意义不大，但可能会向老牌《大众科学》的订阅者澄清我的意图：《自由度》不是也永远不可能成为马丁·加德纳的博客。我这样说，不仅仅是指我显然不是那个在四分之一世纪里以他“数学游戏”专栏无与伦比的清晰度、原创性和权威性让杂志读者感到高兴的人。我的意思还包括，尽管这在某种意义上是《大众科学》的数学专栏，但我并不打算模仿、效仿或重演最初激励我们中的一些人成为数学家（或物理学家、计算机科学家、工程师——随便你怎么称呼）的那个专栏。
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关于“自由度”的标志：马丁·加德纳的“数学游戏”专栏曾登上 1959 年 11 月《大众科学》的封面。（数学专栏登上封面并不罕见。那是过去的年代。）主题是希腊-拉丁方阵，这是一种用彩色方块展示的组合游戏。十种不同颜色中的每一种都在每一行上作为外方块出现一次，在每一行上作为内方块出现一次。同样，每种颜色在每一列上都作为内方块和外方块出现一次。正方形的布面油画是由当时杂志的 штатный 美术师 Еми Касай 绘制的。
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*向量空间的定义不会在考试中出现。实际上，什么都不会考，因为不会有考试。但如果您好奇，这就是教授所说的“n 维向量” (x1, … , xn) 的意思：这只是数学家们使用的一种方便的符号，当他们想指出您有 n 个数字时，并且数字 n 可能是无限多个自然数（1、2、3、4、5 等）中的任何一个，因此您最好省略中间的 x，并用点代替它们，因为您还没有决定到底有多少个。更重要的是，您写的任何包含 n 的陈述通常都应该适用于无限多种可能的情况。