编者注：七月杂志中提到的在线谜题可以在此处找到。
数百万人都曾被魔方这个迷人的谜题所困扰，它在 1980 年代风靡全球。如果您不知何故错过了这个谜题——或者 1980 年代——这个魔方是一个塑料小玩意，看起来由 27 个小立方体或“小方块”堆叠成一个更大的立方体，每条边有三个小方块组成。大立方体的六个正方形面中的每一个都涂有一种醒目的颜色——通常是蓝色、绿色、橙色、红色、黄色或白色。我们说这个立方体看起来像是小方块的堆叠，但这里的外观具有欺骗性。一个巧妙的机制，由匈牙利教师埃尔诺·鲁比克于 1974 年发明（并由日本工程师石毛辉寿于 1976 年独立发明），使大立方体的六个正方形面中的任何一个都可以绕该面的中心扭转。将各个面随意扭转五六次，您就会得到一个被打乱的魔方，只有专家——魔方大师——才能恢复秩序。这个谜题的目标是将任意打乱的魔方恢复到原始状态，每个面都是一种纯色，从而“解决”魔方。
魔方、鲁比克多面体以及魔方问世后出现的许多仿制品被称为置换谜题，因为它们基于重新排列或置换谜题碎片（在魔方的情况下为小方块）的移动。每种情况下的目标都是将碎片的一些打乱排列恢复到某种预定的顺序，通常是它们的初始“原始”配置。置换谜题与称为置换群的数学实体密切相关，置换群是导致谜题中对象的不同排列的所有允许移动序列的集合。
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在数学中，群可以理解为普通算术的推广。正整数和负整数 0、±1、±2 等，以及将它们组合起来的加法运算，构成一个群。但是，群也可以由许多其他类型的实体组成——物理对象的旋转和反射、可以应用于字母或事物集合的各种排列、称为方阵的数字分组等等——只要群包括某种运算来组合实体，使得组合后的实体也是群的成员。
除了在纯数学中的兴趣之外，群论在学科之外也有强大的应用，例如晶体学、基本粒子物理学、弦理论甚至电信。因此，对于学生和在职科学家来说，熟悉群的行为方式可能既具有挑战性，又具有重要的科学意义。找出解决魔方的方法已被证明是人们感受某些类型的抽象群如何组合的一种绝佳方式。
但是，一旦人们掌握了魔方的技巧，他们通常会发现他们的解决方案策略对于解决它启发的所有几乎所有山寨置换谜题同样有效。坦率地说，在那时，这种置换谜题开始失去其刺激性。至少那是我们对魔方的体验。但我们也知道，我们的失望是有充分的数学原因的。所有类似魔方的谜题都代表了某种一般类型的群，因此它们都屈服于相同的一般类型的攻击。然而，这些群绝不穷尽群概念的数学多样性。
出于教育目的，我们想要的是一种有趣的方式来培养人们对与魔方所代表的群完全不同的群的直觉。而作为谜题爱好者，我们想要的是一套新的谜题，其解决方案需要与魔方及其亲属的解决方案策略截然不同。因此，我们进行了自然的联系：我们能够开发出三个基于称为散在单群的群的新谜题，这些群的性质既非凡又不为人所知，除非是专家。令人高兴的是，我们同事的经验表明，任何能够学会解魔方的人都可以通过玩我们的谜题来获得对这些散在单群的同等程度的理解。但更重要的是，这些谜题具有挑战性，因为它们不屈服于适用于魔方的方法——而且我们认为它们非常有趣。想要立即上手的读者可以下载它们。
谜题及其群
要解决新谜题，了解构成新谜题的散在单群，以及它们与魔方所代表的群：“魔方群”的不同之处，是很有用的。群的大小可以是无限的或有限的。我们前面提到的整数的加法群显然有无限多个成员。但是魔方群中元素的数量是有限的，即使魔方的所有允许移动序列的集合是无限的。原因是，如果两个移动序列从相同的小方块起始排列导致相同的终点，则这两个序列被认为是等效的。在魔方中，小方块的不同配置的数量是天文数字——大约 4 X 1019，或 43,252,003,274,489,856,000，准确地说——因此，元素或魔方群中表示的不同移动组合的数量是巨大的但有限的。
尽管移动的“空间”如此广阔，但通过遵循一些一般提示来设计魔方的解决方案并不难。您需要一支铅笔、纸和一个魔方，最好是未打乱的。您的目标是双重的：首先，您需要一种方便的方式来记录您的移动。其次，您想要发现各种短的移动序列，您可以将其写下来以完成特定任务：例如，交换某些对的角小方块或棱小方块。这个想法是将这些序列系统地组合起来以解决被打乱的魔方。
事实证明，这种系统的方法，从试错开始，几乎总是会产生有用的序列，这些序列为您提供了足够的灵活性来解决魔方。粗略地说，原因是魔方群的基本代数成分是所谓的对称群，对称群是给定数量对象的所有可能排列的群，以及它们的近亲交错群，每个交错群包含相应对称群元素的一半。因此，对称群S3包含所有 3! (1 X 2 X 3) 或六个，三个对象的可能排列；它的亲属，交错群A3，有三个元素。与魔方群相关的对称群包括对称群S8（八个角小方块可以重新排列的所有 8! 或 40,320 种方式）和对称群S12（12 个棱小方块可以重新排列的所有 12! 或 479,001,600 种方式）。
“对称”的“原子”
我们的谜题也是置换谜题，但它们中的每一个都基于所谓的散在 单群。要理解什么是散在单群，首先要理解子群的概念。假设您只允许扭转魔方的蓝色和黄色面。在这种限制下，您将永远无法移动绿色和白色的侧小方块。因此，受限移动的不同序列的数量小于整个魔方群中元素的数量。超过这一点，单群的概念在某种程度上是技术性的；只需说单群是一个不包含“真、正规”子群的群就足够了。
“单群”这个术语在群论中的应用可能是数学史上最大的误称之一。事实证明，单群包括数学家已知的最复杂的实体中的一些。然而，它们之所以简单，是因为它们是群论的构建块或“原子”。在某种程度上，单群也像素数，素数是仅能被自身和 1 整除的数字（2、3、5、7、11 等）。每个有限群都可以唯一地“分解”为单群，就像任何整数都可以分解为素数一样。
所有有限单群都已被识别和分类。它们是在 1860 年代至 1980 年间发现的，分类主要是在 1940 年代后期至 1980 年代初期完成的（最近进行了一些更正），涉及数百位数学家的工作。关于单群发现和最终列表完整的证明的报告在专业数学期刊中消耗了超过 10,000 页，分布在约 500 篇文章中。数学家仍在研究该证明的更简单版本，这可以澄清他们对单群的理解。但是，已经掌握的证明表明，存在 18 个有限单群族——每个族都是特定类型群的无限集合——以及 26 个所谓的散在群，它们是怪异的，本质上是自身的数学实体。没有其他的了。
散在单群谜题
我们构建了基于三个散在单群的谜题，它们被称为M12、M24和Co1。这些谜题，就像魔方一样，是置换谜题，但是表示散在单群的置换对于允许的置换的限制比对称群更严格。因此，在我们的谜题中，无论进行多少次移动，许多数字排列都是无法访问的。
正如我们前面提到的，适用于解决魔方和其他基于对称群的谜题的策略不适用于我们的新谜题。但是，可以从关于群的少量提示中开发出其他策略。
我们的三个谜题中最简单的是M12，它基于同名的散在单群。M12群是最早发现的五个散在单群之一；这五个群都是在 1860 年代由法国数学家埃米尔·马蒂厄发现的，并被称为马蒂厄群。有抱负的谜题解决者会面对一个特别打乱的数字 1 到 12 的序列，排列成一行。只允许两种移动，但它们可以在任何序列中应用任意次数。谜题的目标是将打乱的排列恢复为普通的数字顺序 (1, 2, 3, ..., 12)。
我们将给大胆接受我们挑战的读者一个提示。在谜题中（以及在群M12中），可以将任意五个数字移动到该行 12 个位置中的任意五个位置。一旦完成，所有剩余的数字都会就位；谜题就解决了。原因是群M12有 12 X 11 X 10 X 9 X 8，或 95,040 个排列，这恰好是选择 12 个数字中的任意五个并将它们中的每一个放置在序列中某个位置的方式的数量。（第一个数字可以占据 12 个位置中的任何一个，第二个数字可以占据剩余 11 个位置中的任何一个，依此类推。）通过固定五个数字的位置来指定整个排列这一事实意味着，搜索仅移动少量数字的移动序列是毫无意义的。除了所谓的虚拟或空移动（它使任何排列保持原样）之外，每个移动都必须使少于五个数字固定。换句话说，每个非平凡的移动序列都必须至少位移 12 个数字中的八个。
不适合胆小者的谜题
我们的第二个谜题M24包括 23 个数字排列在一个圆圈中，就像在钟面上一样，第 24 个数字放置在圆圈外 12 点钟位置。与M12谜题一样，只允许两种移动。原则上，M24谜题可以用真实部件制造，而不仅仅是用计算机表示：23 个数字的圆圈可以通过旋转装置移动，齿轮系统可以按照移动的指示交换数字对。
由M24的两次移动生成的置换群是马蒂厄群M24。与M12一样，M24是“五重传递的”：通过两次移动的某种组合，可以操纵排列，直到 24 个数字中的任意五个数字被放置在 24 个位置中的任意五个位置。由于五重传递性，我们解决M12谜题的提示也有助于解决M24：设计移动，使数字 1 到 5 返回到它们正确的位置，而不会干扰已经到位的数字。但是这次解谜者并没有完全完成。群M24有 24 X 23 X 22 X 21 X 20 X 48，或 244,823,040 个元素；因此，即使在数字 1 到 5 返回到它们正确的位置后，其他 19 个数字仍然可以以 48 种不同的方式分布在圆圈周围。
我们的最后一个谜题 Dotto 代表了康威群Co0，由普林斯顿大学数学家约翰·H·康威于 1968 年发表。Co0包含散在单群Co1，其成员数量恰好是Co1的两倍。康威过于谦虚，没有以自己的名字命名Co0，因此他将该群表示为“.0”（因此发音为“dotto”）。
我们将不得不将 Dotto 谜题的细节留给我们的在线讨论。但我们可以指出，该谜题及其基础群都具有引人入胜的数学特性。该谜题与蛭格网格密切相关，蛭格网格是 24 维空间中的一组“点”或有序数字列表。众所周知，在通过将 24 维“球体”以网格点为中心构建的 24 维空间中的所有球体堆积中，基于蛭格网格的球体堆积是最紧密的。
关于婴儿和怪物
只有四个散在单群的大小超过 Co1：扬科群J4、费舍尔群Fi24、婴儿怪物B和怪物M。顾名思义，怪物是其中最大的，拥有约 8 X 1053 个元素。它是由密歇根大学安娜堡分校的罗伯特·L·格里斯于 1980 年构建的，作为 196,884 维空间中某个复杂数学结构的变换群。
我们尚未尝试基于任何其他散在单群构建谜题——尽管某些肯定有可能。但是，设计任何基于怪物的可行谜题将是一项严肃的数学事业。原因是尚不清楚怪物是否是任何足够小以至于可以可视化的对象的置换群，尽管根据一种猜想，它是某个 24 维弯曲空间的置换群。“怪物谜题”的成功设计可能会使数学家更接近证明这个诱人的猜想。
注意：这篇文章最初的标题是“玩转单群”。
