编者按：本文最初发表于我们1992年1月的期刊。我们发布此文是因为最近关于混沌和量子力学之间联系的讨论。
1917年，阿尔伯特·爱因斯坦写了一篇论文，但被完全忽略了40年。在论文中，他提出了一个物理学家最近才开始自问的问题：在我们世界中无处不在的经典混沌，会对描述原子和亚原子世界的量子力学理论产生什么影响？当然，人们早已观察到经典混沌的影响——开普勒知道月球绕地球的运动，牛顿则对这种现象深感不满。19世纪末，美国天文学家威廉·希尔证明了这种不规则性完全是太阳引力造成的。因此，伟大的法国数学家、天文学家、物理学家亨利·庞加莱推测，月球的运动只是影响几乎一切事物的先天性疾病的一个轻微案例。庞加莱最终意识到，大多数动力系统都表现出难以察觉的规律性或重复模式。即使是一个简单系统的行为也可能对其初始条件非常敏感，以至于最终结果是不确定的。
在庞加莱关于经典混沌的开创性工作的同时，马克斯·普朗克开始了另一场革命，这场革命将导致现代量子力学理论的诞生。牛顿研究过的简单系统再次被研究，但这次是在原子尺度上。谦卑的单摆的量子类比是激光；原子世界中飞行的炮弹由质子或电子束组成，而旋转的轮子是自旋电子（磁带的基础）。甚至太阳系本身也反映在元素周期表中发现的每个原子中。
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量子世界最突出的特征也许是其平滑的波动性质。这一特征引出了一个问题，即当从经典世界过渡到量子世界时，混沌如何发挥作用。经典混沌的极其不规则的特性，如何与原子尺度上现象的平滑波动性质相协调？量子世界中是否存在混沌？初步工作似乎表明它的确存在。在某些原子系统的能级分布中发现了混沌；它甚至似乎偷偷潜入了与这些能级相关的波形模式中。当电子从小分子散射时，也发现了混沌。但我必须强调的是，“量子混沌”这个术语更多的是用来描述一个难题，而不是定义一个明确的问题。
考虑以下对大局的解读可能有助于理解量子混沌。我们所有关于力学的理论讨论可以被有些人为地划分为三个部分[见图示]，尽管自然界并不承认这些划分。
基本经典力学属于第一部分。这个框包含所有表现出简单和规则行为的干净系统，因此我将其称为 R，表示规则（regular）。 R 中还包含一个称为微扰理论的精细数学工具，该工具用于计算小的相互作用和外部干扰的影响，例如太阳对月球绕地球运动的影响。借助微扰理论，现在大部分物理学都被理解为对规则系统的相对温和的修改。然而，现实要复杂得多；混沌系统位于微扰理论的范围之外，它们构成了第二部分。
由于第二部分的系统最初的详细分析是由庞加莱完成的，因此我将这个框命名为 P，以纪念他。它充满了构成科学基础的混沌动力系统。这些系统包括所有基本力学问题，从三个而不是仅有两个物体相互作用开始，例如地球、月球和太阳，或者水分子中的三个原子，或者质子中的三个夸克。
量子力学，作为已经实践了大约 90 年的学科，属于第三部分，称为 Q。在普朗克、爱因斯坦和尼尔斯·玻尔的开创性工作之后，量子力学从 1924 年开始，在短短四年内被赋予了明确的形式。路易斯·德布罗意、维尔纳·海森堡、埃尔温·薛定谔、马克斯·玻恩、沃尔夫冈·泡利和保罗·狄拉克的开创性工作经受住了实验室的考验，没有丝毫失误。奇迹般地，它为物理学提供了一个数学框架，根据狄拉克的说法，该框架对“大多数物理学和所有化学”产生了深刻的理解。然而，尽管大多数物理学家和化学家都学会了如何解决量子力学中的特殊问题，但他们尚未理解该领域令人难以置信的微妙之处。这些微妙之处与有关量子力学解释的困难的概念性问题截然不同。
三个框 R（经典简单系统）、P（经典混沌系统）和 Q（量子系统）通过几个连接相连。R 和 Q 之间的连接被称为玻尔的对应原理。对应原理相当合理地声称，当物体变得比原子大得多时，经典力学必须包含在量子力学中。R 和 P 之间的主要联系是 Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) 定理。KAM 定理提供了一个强大的工具，用于计算当引入小扰动时，规则系统的多少结构得以保留，因此该定理可以识别导致规则系统发生混沌行为的扰动。
量子混沌关注的是建立框 P（混沌系统）和 Q（量子系统）之间的关系。在建立这种关系时，引入一个称为相空间的概念很有用。令人惊讶的是，这个概念现在被动力系统领域的专家广泛利用，它可以追溯到牛顿。
相空间的概念可以在牛顿于 1687 年出版的《自然哲学的数学原理》中找到。在第一章“定义”的第二个定义中，牛顿（如 1729 年从原始拉丁文翻译而来）指出：“运动的量是对同一事物的度量，它来自速度和物质的量结合在一起。”在现代英语中，这意味着对于每个物体，都有一个称为动量的量，它是物体的质量和速度的乘积。
牛顿在第二章“公理，或运动定律”中给出了他的运动定律。第二定律说，运动的变化与所施加的动力成正比。牛顿将力与动量的变化联系起来（而不是像大多数教科书那样与加速度联系起来）。
动量实际上是两个量中的一个，这两个量加在一起，可以给出任何时刻动力系统的完整信息。另一个量只是位置，它决定了力的强度和方向。牛顿对动量和位置的双重性质的深刻见解，在 130 年后被两位数学家威廉·罗文·汉密尔顿和卡尔·古斯塔夫-雅各布·雅可比放在了更坚实的基础上。动量和位置的配对不再被视为在良好的旧欧几里得空间或三维空间中；相反，它被视为在相空间中，相空间有六维，三个维度用于位置，三个维度用于动量。
从数学的角度来看，引入相空间是一个强大的步骤，但从人类直觉的角度来看，这是一个严重的挫折。谁能想象出六维空间？幸运的是，在某些情况下，相空间可以简化为三维，甚至更好的是二维。这种简化在检查强磁场中氢原子的行为时是可能的。长期以来，氢原子因其简单性而成为人们非常需要的系统。一个孤立的电子绕一个孤立的质子运动。然而，当打开磁场时，电子的经典运动变得混乱。如果我们无法解释这个基本问题，我们如何声称理解物理学呢？
在正常条件下，氢原子的电子紧密地束缚在质子上。原子的行为受量子力学支配。原子不能自由地采取任何任意的能量，它只能采取离散的或量子化的能量。在低能量下，允许的值分布得相对较远。随着原子能量的增加，原子变大，因为电子离质子更远，并且允许的能量变得更接近。在足够高的能量下（但不要太高，否则原子会被剥夺电子！），允许的能量非常接近，形成了一个有效的连续体，现在可以公平地应用经典力学的规则。
这种高度激发的原子称为里德堡原子。里德堡原子占据了量子世界和经典世界之间的中间地带，因此它们是探索连接框 Q（量子现象）和 R（经典现象）的玻尔对应原理的理想候选者。如果能使里德堡原子在经典意义上表现出混沌行为，它可能会为量子混沌的本质提供线索，从而阐明框 Q 和 P（混沌现象）之间的中间地带。
里德堡原子在强磁场中表现出混沌行为，但要看到这种行为，我们必须降低相空间的维度。“第一步是注意，所施加的磁场定义了一个穿过原子的对称轴。电子的运动实际上发生在一个二维平面中，并且围绕轴的运动可以分离出来；只有沿轴和离轴的距离才重要。运动的对称性将相空间的维度从六个减少到四个。”
另外一个帮助来自于这样一个事实：没有外力对电子做功。因此，总能量不随时间变化。通过关注能量的特定值，可以从四维相空间中取出一个三维切片，称为能量壳。能量壳允许人们观察电子的曲折运动，实际上可以看到类似缠绕的金属丝雕塑。庞加莱提出了一个简单的想法，使得结果图景可以进一步简化。他建议在能量壳中取一个固定的二维平面（称为庞加莱截面或截面），并观察轨迹与该平面相交的点。庞加莱截面将缠绕的金属丝雕塑简化为普通平面中的一系列点。
对面所示的是强磁场中高度激发氢原子的庞加莱截面。图中点分布非常分散的区域表示混沌行为。这种分散是经典混沌的明显症状，它允许人们将系统划分为P箱或R箱。
里德堡原子揭示了什么关于P箱和Q箱之间的关系？我提到过，量子力学系统的一个标志是其量子化的能级。实际上，能级是寻找量子混沌的首要位置。然而，混沌并不会在任何特定的能级上显现出来；相反，它的存在体现在能级的谱或分布中。也许有些自相矛盾的是，在非混沌量子系统中，能级的分布是随机的，并且没有关联，而混沌量子系统的能级则表现出很强的相关性[见图]。规则系统的能级通常彼此接近，因为规则系统由完全解耦的较小子系统组成。然而，混沌系统的能级似乎彼此意识到了，并试图保持安全距离。混沌系统无法分解；沿一个坐标轴的运动始终与其他轴的运动耦合在一起。
混沌量子系统的谱最早是由量子力学的另一位早期大师尤金·P·维格纳提出的。维格纳和其他许多人一样观察到，核物理学不具备原子和分子物理学的安全基础：核力的起源仍然不清楚。因此，他提出了这样一个问题：是否可以从问题中许多参数具有确定但未知的值的假设中推导出核谱的统计特性。这个相当模糊的起点使他找到了分布最可能的公式。法国奥赛核物理研究所的奥里奥尔·博希加斯和玛丽-乔亚·詹诺尼首先指出，维格纳的分布恰好是混沌动力系统谱的发现。
然而，混沌似乎并不局限于量子能级的分布，它甚至渗透到量子世界的波动性质中。氢原子中电子的位置由波模式描述。电子无法在空间中精确定位；它是一个悬浮在质子附近的云状涂抹。与每个允许的能级相关的是一个稳态，它是不随时间变化的波模式。稳态与拉伸在刚性框架上的膜的振动模式非常相似，例如鼓。
华盛顿大学的埃里克·海勒在 20 世纪 80 年代早期证明，混沌系统的稳态具有令人惊讶的有趣结构。他和他的学生计算了体育场形状的二维腔的一系列稳态。众所周知，经典力学中相应的问题是混沌的，因为典型的轨迹会很快相当均匀地覆盖大部分可用区域。这种行为表明，稳态也可能看起来是随机的，就好像它们的设计没有任何韵律或理由。相反，海勒发现大多数稳态都集中在体育场内形成简单形状的狭窄通道周围，他将这些通道称为“疤痕”[见图]。在强磁场中的氢原子的稳态中也可以找到类似的结构[见图]。量子波形的光滑度在点与点之间得以保持，但是当人们退后一步观察整体图像时，混沌的指纹就会显现出来。
可以将能量谱的混沌特征与普通的经典力学联系起来。爱因斯坦 1917 年的论文中提供了一个线索，他研究了 R 箱中规则系统的相空间，并将其几何地描述为充满了甜甜圈形状的表面；系统的运动对应于点在特定甜甜圈表面上的轨迹。轨迹以规则的方式绕着甜甜圈表面蜿蜒，但它不一定会闭合自身。
在爱因斯坦的图中，应用玻尔的对应原理来找到类似量子力学系统的能级很简单。自然界中唯一可能出现的轨迹是甜甜圈的横截面积等于普朗克常数 h（角动量基本量子的 2π 倍，其单位是动量乘以长度）的整数倍的轨迹。结果证明，整数倍恰好是指定量子系统中相应能级的数字。
不幸的是，正如爱因斯坦清楚地看到的那样，如果系统是混沌的，他的方法就无法应用，因为轨迹不在甜甜圈上，也没有自然的区域来包围普朗克常数的整数倍。必须寻找一种新的方法来解释经典力学混沌轨道中量子力学能级的分布。
经典力学轨迹的哪些特征可以帮助我们理解量子混沌？希尔关于月球由于太阳的存在而导致的不规则轨道的讨论提供了一个线索。他的工作代表了首次在一个困难的力学问题中找到特定的周期轨道。（周期轨道就像一个闭合的轨道，系统在该轨道上运行：它们有很多，尽管它们是孤立的且不稳定的。）灵感也可能来自庞加莱，他强调周期轨道的一般重要性。在他于 1892 年出版的三卷本著作《天体力学新方法》的开头，他表示相信周期轨道“提供了我们可能渗透进这座被认为坚不可摧的堡垒的唯一入口”。混沌系统的相空间可以组织起来，至少部分围绕周期轨道组织，即使它们有时很难找到。
1970 年，我发现了一种非常通用的方法来提取关于量子力学谱的信息，该方法来自经典周期轨道的完整枚举。该方法的数学原理太复杂，无法在此深入探讨，但该方法的主要结果是一个相对简单的表达式，称为迹公式。包括布里斯托大学的迈克尔·V·贝里在内的许多研究人员现在都使用了该方法，他利用该公式推导出了光谱的统计特性。
我应用迹公式计算了半导体晶格中电子在其中一个受控杂质附近的最低二十几个能级。（当然，半导体是现代生活所依赖的奇妙设备的基础；由于其杂质，该材料的导电性介于绝缘体（例如塑料）和导体（例如铜）之间。）电子的轨迹可以用一串符号来唯一地表征，该符号具有直接的解释。该字符串是通过在半导体中定义一条轴并简单地记录轨迹何时穿过该轴而产生的。穿过轴的“正”侧得到符号 +，穿过“负”侧得到符号 -。
那么，轨迹看起来完全像抛硬币的记录。即使过去的一切细节都已知道，即使所有交叉点都已被记录下来，未来仍然是完全开放的。可以任意选择交叉点的序列。现在，周期轨道由一个重复自身的二进制序列组成；最简单的这种序列是 (+ -)，下一个是 (+ -)，依此类推（连续两次具有相同符号的交叉点表示电子暂时被捕获。）由此枚举所有周期轨道，并且有可能在迹公式的帮助下计算出适当的频谱。换句话说，量子力学能级是在仅依赖经典力学量的近似中获得的。
经典周期轨道和量子力学谱通过称为傅里叶分析的数学过程紧密结合在一起。一组中的隐藏规律以及它们出现的频率，恰好由另一组给出。威廉玛丽学院的约翰·B·德洛斯和海德堡马克斯·普朗克核物理研究所的迪特·温特根利用这个想法来解释强磁场中氢原子的光谱。
比勒费尔德大学的卡尔·H·韦尔格和他的同事们对这种光谱进行了实验工作，他们将氢原子激发到接近电离的程度，此时电子会脱离质子。原子吸收辐射的能量似乎是完全随机的[见图]，但是傅里叶分析将混乱的峰转化为一组分离良好的峰。这里的重要特征是，每个分离良好的峰都恰好对应于几个标准的经典周期轨道之一。庞加莱对周期轨道重要性的坚持现在有了新的意义。不仅相空间的经典组织结构关键依赖于经典周期轨道，而且对混沌量子谱的理解也如此。
到目前为止，我只讨论了S电子被捕获或在空间上受限的量子系统。当电子从分子中的原子散射时，在电子可以自由漫游的原子系统中也存在混沌效应。在这里，能量不再是量化的，电子可以取任何值，但是散射的有效性取决于能量。
混沌在量子散射中表现为电子在散射过程中暂时被捕获在分子内部的时间长短的变化。为了简化问题，可以在二维空间中进行研究。对于电子来说，由四个原子组成的分子就像一个小的迷宫。当电子接近其中一个原子时，它有两个选择：它可以向左转或向右转。电子穿过分子的每条可能轨迹都可以记录为一系列围绕原子的左右转弯，直到粒子最终出现。所有轨迹都是不稳定的：即使能量或初始接近方向发生微小变化，也会导致电子最终离开分子的方向发生巨大变化。
散射过程中的混沌源于轨迹数量随路径长度快速增加的事实。只有从量子力学的角度进行解释才能得出合理的结果；纯粹的经典计算会产生无意义的结果。在量子力学中，每条经典轨迹都被用来定义一个小波，该小波会在分子中找到自己的路径。量子力学的结果是通过简单地将所有这些小波相加而得出的。
最近，我做了一个特殊情况的散射过程计算，其中小波的总和是精确的。一个具有已知动量的电子撞击分子，并以相同的动量出现。电子到达固定监测站的时间随动量的变化而变化，这种变化的方式是这个问题最引人入胜的地方。到达时间随着动量的微小变化而波动，但在较大的变化范围内，会出现一种混沌的印记，这种印记永远不会稳定到任何简单的模式。
混沌散射过程的一个特别诱人的方面是它可能将量子混沌的奥秘与数论的奥秘联系起来。计算时间延迟直接引出了数学中可能最神秘的对象，黎曼zeta函数。实际上，莱昂哈德·欧拉在 18 世纪中叶首次使用它来证明存在无限多个素数（除了 1 以外不能被任何更小的整数整除的整数）。大约一个世纪后，现代数学的创始人之一伯恩哈德·黎曼利用该函数深入研究了素数的分布。在他唯一一篇关于该主题的论文中，他用希腊字母zeta称呼该函数。
zeta函数是复平面中存在的两个变量 x 和 y 的函数。为了理解素数的分布，黎曼需要知道zeta函数何时为零。在没有给出有效论证的情况下，他指出仅当 x 设置为 1/2 时，该函数才为零。大量的计算表明，对于前十亿个零点，他的说法是正确的，但没有数学家能接近提供证明。如果黎曼猜想正确，就可以证明素数的各种有趣的性质。
zeta函数为零的 y 值形成一组数字，这组数字很像原子的能量谱。正如可以研究光谱中能级的分布一样，也可以研究zeta函数的零点的分布。这里，素数的作用与磁场中氢原子的经典闭合轨道相同：素数表明zeta函数零点之间的一些隐藏相关性。
在散射问题中，zeta函数的零点给出了时间延迟发生强烈变化的动量值。黎曼zeta函数的混沌在最近才被证明的一个定理中特别明显：zeta函数在局部适合任何光滑函数。该定理表明，该函数可能描述量子系统可以表现出的所有混沌行为。如果量子力学的数学能够被更熟练地处理，可能会发现许多局部平滑但全局混沌的现象的例子。