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对于一位 32 岁就去世的人来说，很大程度上是自学成才的印度数学家 斯里尼瓦萨·拉马努金 留下了令人印象深刻的数论见解遗产——包括许多他没有提供证明的主张。他大约一个世纪前提出的关于计算一个数字可以表示为和的种数这一更加神秘的陈述之一，现在已帮助研究人员在计数领域中发现了意想不到的 分形结构。
拉马努金的陈述涉及看似简单的划分概念——一个整数可以细分为较小数字的不同方式。埃默里大学的 Ken Ono 和他的合作者 现在已经找到了 计算所有可能划分的新方法，并发现结果形成分形——即模式或形状在多个不同尺度上完全相同的重复结构。“我们发现的分形理论完全解答了拉马努金的神秘陈述，”Ono 说。他的团队破解的问题被视为数论的圣杯，其解决方案可能会对整个数学领域产生影响。
思考划分的一种方法是考虑如何将一组任何（不可区分的）对象划分为子集。例如，如果您需要在地下室存放五个箱子，您可以将它们全部堆成一堆；将它们单独放在地板上，作为包含一个箱子的五个子集；将它们放在一堆，或子集，三个加上一堆两个；等等——您总共有 7 种选择
5、1+1+1+1+1、1+1+1+2、1+1+3、1+4、1+2+2 或 2+3。
数学家通过说 p(5) = 7 来表达这一点，其中 p 是划分的缩写。对于数字 6，有 11 种选择：p(6) = 11。随着数字 n 的增加，p(n) 很快开始增长得非常快，例如 p(100) = 190,569,292，而 p(1,000) 是一个 32 位数字。（WolframAlpha 知识引擎 计算的划分数字高达一百万。）
这个概念非常基本和根本，因此它对于数论至关重要，并且也出现在大多数其他数学领域中。数学家们早就知道，对于 n 的所有值，由 p(n) 组成的数字序列远非随机。例如，拉马努金和后来的其他人找到了公式，可以很好地近似预测任何 p(n) 的值。并且长期以来一直存在通用的“递归”公式来计算 p(n)，但它们并没有显着加快计算速度，因为要找到 p(n)，您首先需要知道 p(n – 1)、p(n – 2) 等等。“即使在今天的计算机帮助下，这也不切实际，”Ono 说。
原则上，用于计算 p(n) 精确值的直接公式可能会更快。直接公式的另一个优点是能够比较任意大的 n 的 p(n) 值，从而证明模式的存在，例如沿着整个无限序列重复的属性。
事实上，拉马努金的原始陈述源于对模式的观察，例如 p(9) = 30、p(9 + 5) = 135、p(9 + 10) = 490、p(9 + 15) = 1,575 等等都可被 5 整除。请注意，这里的 n 值以五个单位的间隔出现。
拉马努金假设这种模式应该永远持续下去，并且当 5 被 7 或 11 替换时，也存在类似的模式——存在无限序列的 p(n)，它们都可被 7 或 11 整除，或者，正如数学家所说，其中“模数”为 7 或 11。
然后，拉马努金以近乎神谕般的语气继续说道：“似乎存在相应的属性，”他在 1919 年的论文中写道，“其中模数是 5、7 或 11 的幂……并且对于任何涉及除这三个质数以外的质数的模数，都没有简单的属性。”（质数是只能被自身或 1 整除的整数。）因此，例如，应该存在适用于无穷多个以 5^3 = 125 个单位分隔的 n 的公式，表明相应的 p(n) 都应该可以被 125 整除。
在随后的几年里，数学家们能够根据拉马努金的陈述证明简单的案例。至于“没有简单的属性”可能意味着什么，那曾经是任何人的猜测——直到现在。
Ono 与德国达姆施塔特工业大学的 Jan Hendrik Bruinier 合作，开发了用于计算任何 n 的 p(n) 的第一个精确公式。在与同样在埃默里大学的 Zachary A. Kent 以及耶鲁大学的 Amanda Folsom 的另一篇论文中，他已经确定了甚至拉马努金可能都无法梦见的模式。
这些模式将某些 p(n) 序列联系起来，其中 n 值由 11 以外的任何质数的幂分隔。例如，取下一个质数 13，以及序列 p(6)、p(6 + 13)、p(6 + 13 + 13) 等等。Ono 的公式将这些值与 p(1,007)、p(1,007 + 13^2)、p(1007 + 13^2 + 13^2) 等的值联系起来。相同的公式将后一个序列与 n 值以 13^3 的间隔出现的序列联系起来——对于更大和更大的指数也是如此。（这些公式比仅仅说 p(n) 是质数的倍数要稍微微妙一些。）这种递归是分形结构的典型特征，例如 曼德勃罗集 [请观看上面的视频]，并且是数论中相当于放大分形，Ono 解释说。
Ono 于 1 月 21 日在埃默里大学专门召开的研讨会上公布了这些发现。到当天下午，这个消息已经在数学界引起轰动，他的收件箱里塞满了来自数学家、记者和“怪人”的 1,500 封电子邮件，他说。（Ono、Folsom 和 Kent 在美国数学研究所的网站上发布了他们的证明，并将其提交给了一家期刊。Ono 说，Ono 和 Bruinier 的新公式的完整证明仍在撰写中。）
“Ken 是一种现象，”宾夕法尼亚州立大学的划分专家 George E. Andrews 评论道。Andrews 补充说，关于划分的新的分形观点“提供了一个几年前没有人预料到的上层结构。”
Ono 等人的发现有任何实际用途吗？Andrews 说，很难预测。“通常，对基础纯数学的深刻理解需要一段时间才能渗透到应用中。”过去，为理解划分而开发的方法后来已应用于物理问题，例如强核力理论或黑洞的熵。
与此同时，数学家们只能思考拉马努金的思想。Ono 指出，他的许多主张已被证明是不正确的，但他的工作仍然阐明了当今数论学家研究的许多内容。“我们现在研究的所有这些东西，由于某种疯狂的原因，都是拉马努金预料到的，”他说。
“他是一位神奇的天才，”Andrews 补充说，“我们其余的人都希望知道他是如何看得如此深刻的。”