2013年1月22日

无穷的永恒：数学的力量与美

本文发表于《大众科学》的前博客网络，仅反映作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

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我所受到的最大的智力冲击是在高中时。有人送给我一本物理学家乔治·伽莫夫的经典著作《一二三...无穷大》。伽莫夫不仅是一位杰出的科学家，也是二十世纪后期最伟大的科学普及者之一。在他的书中，我遇到了我所知的最深刻、最引人入胜的纯粹智力事实；数学允许我们比较“不同的无穷大”这一事实。这个想法将永远让我感到敬畏和惊奇，我认为这是对科学，尤其是数学，能够揭示的奇异而完全违反直觉的世界的最终致敬。

伽莫夫首先提醒我们注意非洲的霍屯督部落。这个部落的成员正式计数不能超过三。那么，他们如何比较数量超过三的商品，例如动物呢？通过采用最合乎逻辑和最原始的计数方法之一——一一对应计数法，或者更简单地说，通过将物体彼此配对。因此，如果一个霍屯督人有十只动物，她想将这些动物与竞争部落的动物进行比较，她会将每只动物与其对应物配对。如果她自己的收藏中还剩下动物，她就赢了。如果竞争对手的收藏中还剩下动物，她就不得不承认竞争部落在绵羊方面的优势。值得注意的是，这种最简单的计数方法使得伟大的德国数学家格奥尔格·康托尔发现了纯粹思维所能发现的最令人震惊和违反直觉的事实之一。考虑自然数集 1、2、3……现在考虑偶数集 2、4、6……如果被问及哪个集合更大，常识会很快指向前者。毕竟，自然数集既包含偶数和奇数，这当然会大于仅仅是偶数集，不是吗？但是，如果现代科学和数学揭示了关于宇宙的一件事，那就是宇宙经常让常识颠倒。这里的情况就是这样。让我们使用霍屯督方法。将自然数和偶数排成一行，并将它们配对。

1 2 3 4 5…

2 4 6 8 10…

因此，1 与 2 配对，2 与 4 配对，3 与 6 配对，依此类推。现在很明显，每个自然数 n 将始终与一个偶数 2n 配对。因此，自然数集等于偶数集，这个结论似乎与常识相悖，并击碎了常识的面目。我们可以进一步扩展这个结论。例如，考虑自然数的平方集，这个集合似乎比偶数集“更小”。通过类似的配对，我们可以证明每个自然数 n 都可以与其平方 n² 配对，再次证明了这两个集合的相等性。现在你可以使用这种方法，建立各种等式，例如整数（所有正数和负数）与平方数的等式。

但是康托尔使用这项技术所做的事情远比有趣的配对深刻得多。自然数集是无限的。偶数集也是无限的。然而，它们可以进行比较。康托尔表明，两个无穷大实际上是可以比较的，并且可以证明彼此相等。在康托尔之前，无穷大只是“无限”的代名词，这是一个模糊的概念，超出了人类想象可视化的范围。但是康托尔表明，无穷大可以进行数学上的精确量化，可以用简单的符号表示，并且或多或少像一个有限数一样表达。事实上，他发现了一种精确的映射技术，通过这种技术可以定义某种无穷大。根据康托尔的定义，任何与自然数存在一一映射或对应关系的无限对象集都称为“可数”无限对象集。这种对应关系需要严格的一一对应，并且需要是详尽的，也就是说，对于第一个集合中的每个对象，都必须在第二个集合中有一个对应的对象。因此，自然数集是衡量其他无限集“大小”的标尺。这种可数无穷大用一个称为集合“基数”的度量来量化。自然数集以及所有通过一一映射与其等价的集合的基数称为“阿列夫零”，用符号 ℵ₀ 表示。

自然数集以及奇数和偶数集构成了“最小”的无穷大，它们都具有 ℵ₀ 的基数。那些看起来大小差异很大的集合现在都可以被宣布为彼此等价，并被简化为一个单一的分类。这是一项伟大的成就。

康托尔无穷大的复杂性促使伟大的数学家大卫·希尔伯特提出了一个有趣的场景，称为“希尔伯特旅馆”。假设你正在长途旅行，疲惫不堪、饥肠辘辘，来到一家看起来不错的旅馆。这家旅馆看起来和任何其他旅馆一样，但有一个问题：让你非常高兴的是，它包含可数无限个房间。因此，现在当前台经理说“对不起，我们客满了”时，你已经准备好回应他了。你只需告诉他将第一位客人移到第二间房间，第二位客人移到第三间房间，依此类推，第 n^个客人移到第 (n+1)^个房间。简单！但是，如果你有朋友陪伴呢？事实上，如果你非常受欢迎，以至于有可数无限个朋友陪伴你呢？没问题！你只需要求经理将第一位客人移到第二间房间，第二位客人移到第四间房间，第三位客人移到第六间房间……第 n^个客人移到第 2n^个房间。现在所有奇数编号的房间都空了，而且由于我们已经知道奇数集是可数无限的，这些房间将很容易容纳你所有可数无限的客人，让你更受欢迎。数学可以像其他任何事物一样弯曲物质世界的规律。

但是之前的讨论留下了一个令人困扰的问题。既然我们所有的无穷大都是可数无限的，那么是否存在像“不可数”无限集这样的东西呢？事实上，这样的无穷大甚至会是什么样的呢？接下来的讨论可能构成了无穷大皇冠上的宝石，当我读到它时，它让我心中充满了无限的惊奇。

让我们考虑实数集，实数是用小数点定义的数字，如 a.bcdefg... 实数由有理数和无理数组成。这个集合是可数无限的吗？根据康托尔的定义，为了证明这一点，我们必须证明实数集和自然数集之间存在一一映射。这可能吗？好吧，假设我们有一个无穷无尽的有理数列表，例如 2.823、7.298、4.001 等。现在将这些数字中的每一个与自然数 1、2、3……配对，在这种情况下，只需对它们进行计数即可。例如

S1 = 2.823

S2 = 7.298

S3 = 4.001

S4 = …

我们是否证明了有理数是可数无限的？不尽然。这是因为我可以使用以下方法构造一个不在列表中的新实数：构造一个新实数，使其与第一个实数的第一个小数位不同，与第二个实数的第二个小数位不同，与第三个实数的第三个小数位不同……与第 n 个实数的第 n 个小数位不同。因此，对于上面三个数字的例子，新数字可以是

S0 = 3.942

（9 与 S1 中的 8 不同，4 与 S2 中的 9 不同，2 与 S3 中的 1 不同）

因此，给定一个从 1、2、3……开始计数的实数无限列表，人们总是可以构造一个不在列表中的数字，因为它将与第一个数字的第一个小数位、第二个数字的第二个小数位……以及第 n 个数字的第 n 个小数位不同。

康托尔将这个论证称为“对角线论证”，因为它实际上是从一条对角线穿过列表中每个数字小数点后所有相关数字的线构造一个新的实数。维基百科页面上的图片使画面更清晰

在此图中，新数字是从对角线上的红色数字构造的。很明显，新数字 Eu 将与列表中的每个数字 E1…En 都不同。对角线论证是一种非常简单而优雅的技术，可用于证明一个深刻的真理。

通过这种比较，康托尔取得了一些令人惊叹的成就。他表明，一个无穷大可以大于另一个无穷大，事实上，它可以无限地大于另一个无穷大。这真的给常识棺材钉上了钉子，因为“两个无穷大的比较”在不知情的人看来是荒谬的。但是我们关于集合的直觉观念在无穷大面前崩溃了。类似的论证可以证明，虽然有理数是可数无限的，但无理数是不可数无限的。这导致了另一个令人震惊的比较；它告诉我们，数轴上 0 和 1 之间包含实数（表示为 [0, 1]）的微小线段“大于”整个自然数集。我从未见过比这更壮观的大卫击败歌利亚的例子。

不可数无限的实数集与可数无限的对象（如自然数，用 ℵ₀ 表示）的基数具有不同的基数。因此，人们可能会从逻辑上期望实数的基数用 ℵ1 表示。但与往常一样，现实挫败了逻辑。这个基数实际上用“c”表示，而不是预期的 ℵ1。我无法理解为什么会这样，但这很吸引人。虽然可以证明 2^ℵ₀ = c，t假设 c = ℵ1 实际上只是一个假设，而不是数学中一个已证明且显而易见的事实。这个假设被称为“连续统假设”，并且恰好是纯粹数学中最大的未解决问题之一。这个问题实际上是 1900 年大卫·希尔伯特在法国举行的国际数学家大会上提出的新世纪 23 个著名问题中的第一个问题（名单上的其他问题包括臭名昭著的黎曼假设和对算术公理一致性的美好信念，后来被库尔特·哥德尔推翻）。杰出的英国数学家 G·H·哈代将连续统假设列为他去世前要做的首要事项（但他没有成功）。该假设的一个推论是，在 ℵ₀ 和 c 之间没有基数的集合。不幸的是，连续统假设可能永远超出我们的能力范围。哥德尔和普林斯顿数学家保罗·科恩通过证明，假设集合论基本基础的一致性，连续统假设是不可判定的，因此既不能证明也不能证伪，从而否定了这个假设。这是假设集合论的基本基础中没有矛盾，这本身就是“普遍相信”但未经证实的事情。当然，所有这些都是数学家在最抽象的思想领域漫游的食粮，无疑会让他们忙碌多年。

但这一切都始于霍屯督人、康托尔以及最原始的计数和比较方法。昨天我偶然发现了伽莫夫的小宝石，所有这些都一下子回到了我的脑海中。无穷大的比较很容易理解，是向孩子们介绍数学奇迹的绝佳工具。它突出了数学宇宙的本质怪异性，并提出了深刻的问题，不仅关于这个宇宙的本质，而且关于能够理解它的人类心灵的本质。最大的问题之一是关于现实本身的本质。物理学也揭示了关于宇宙的反直觉真理，例如时空弯曲、波粒二象性和幽灵般的纠缠现象，但这些真理无疑具有真实的存在，正如通过详尽的实验观察到的那样。但是数学揭示的奇异真理实际上意味着什么呢？与物理学的真理不同，它们不能被触摸和看到。其中一些，例如两种无穷大之间感知的差异，仅仅是人类感知的功能吗？还是这些真理指向“那里”的客观现实？如果它们仅仅是人类感知的功能，那么大脑结构中到底是什么使如此奇妙的创造成为可能呢？在二十一世纪，当神经科学有望揭示比以往任何时候都更多的大脑时，对数学理解的研究可能会被证明具有深刻的意义。

布莱克写下以下诗句时，可能没有想到连续统假设

一沙一世界，

一花一天堂，

掌中握无限，

刹那即永恒。

但数学会验证他的想法。正是通过数学，我们才能将不止一个，而是无穷无尽的无穷大握在手中，直到永恒。