本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
电话在声音上撒谎是因为奇数不是偶数。整数和声音感知再次出现问题！整数和声音感知！
电话只能接收到频率高于 300 或 400 赫兹的声音（每秒周期，也称为 Hz），但大多数成年人说话的声音都低于 300 Hz（大约是中央 C 上方的 D 音）。然而，每天人们都能进行电话交谈。（不相信我？试试看！）感谢缺失的基频。这是一个你（或你的电话）可以用正弦波和比率在你的大脑中玩的把戏，在观看了 Vi Hart 的视频《噪音是怎么回事？》后，我受到启发，将其纳入了我与女童子军关于数学和音乐的聊天中。
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Hart 在视频的 11:13 左右开始演示这种效果，但你真的应该观看完整视频。
纯正弦波会产生可识别的音调，但人声和其他乐器不会产生纯正弦波。除了由例如中提琴上的弦长和粗细决定的基频外，乐器和人声还会产生谐波，其频率是基频的整数倍。因此，当一把中提琴演奏 C 音时，声音可以被认为是 C 音基频的正弦波和频率为高八度的 C 音（2:1 比率）、高五度的 G 音（3:1 比率）、高四度的 C 音（4:1 比率）等的正弦波的叠加。
这与缺失的基频有什么关系呢？让我们从相隔八度的两个音符开始，因此它们的频率比为 2:1。较高音符的谐波也是较低音符的谐波，但并非所有较低音符的谐波都是较高音符的谐波。如果我们从 100 和 200 Hz 开始，那么 400、600 和 800 Hz，即 100 的偶数倍，是两个音高的谐波，但 300、500 和 700 Hz，即 100 的奇数倍，仅是较低音高的谐波。
假设你调制出一些频率为 200、400、600、700 和 800 Hz 的正弦波。当你聆听这种混合音时，你的大脑会识别出这组频率与 200 Hz 的谐波系列不匹配，因为这是存在的最低频率，因为有那个闯入的 700。但是所有频率都在 100 Hz 的谐波系列中。因此，你将感知到 100 Hz 的音高，即使它低于任何实际播放的频率。
这就是电话欺骗我们的方式。这是一件好事——这就是为什么我们在电话里的声音听起来不会比在现实生活中高很多的原因。当我们说话时，我们会产生基频和一堆泛音。电话无法接收到基频，但它可以接收到一些泛音，而线路另一端的人的耳朵和大脑会补充基频。效率真高！
严格来说，这不仅仅是一个偶数/奇数问题。这与播放频率的最大公约数有关。如果我播放 300、500 和 700 Hz 的正弦波，你可能会听到 100 Hz，因为这是具有 300、500 和 700 的泛音系列的最高音高。用数学语言来说，100 是 300、500 和 700 的最大公约数。因此，整数的因式分解性质，虽然在钢琴调音方面不太方便，但对电信很有帮助。（顺便说一下，它对钢琴调音的不同方面很有帮助；钢琴上的最低音符听起来之所以如此低，是因为缺失的基频效应。）
Peter Schneider 等人用来将人们分为“基频听众”和“频谱听众”的实验的插图。实际播放的最低频率从第一个音高到第二个音高升高，但基频下降。图片来自 Peter Schneider 等人，2005 年。点击图片链接到文章。
当我拜访女童子军时，我为她们播放了各种频率的混合音，当添加更高的音符导致感知的音高下降八度时，我们所有人都感到震惊，如果您从频率 200、400 和 600 开始，然后加入 700 或 100 的另一个奇数倍，就会发生这种情况。即使你知道它要来了，你也无法强迫自己听到更高的音符而不是缺失的基频，或者至少我不能。
当有很多泛音来加强它时，几乎每个人都会听到缺失的基频，但 2005 年《自然神经科学》杂志（付费墙）上的一篇论文探讨了缺失的基频效应的局限性。研究人员 Peter Schneider 等人发现，根据音乐家和非音乐家是否在仅存在少量高谐波时感知到基频，可以将他们分为“基频听众”和“频谱听众”。测试对象会背靠背听到两个音调。基频会从一个音符降到下一个音符，而最低频率会升高，反之亦然。我在一个mp3上找到了关于这种效果的一些例子，来自一个泛音演唱留言板，该留言板还有一个“答案键”，因此你可以找出你是否是基频听众。
如果您想亲自体验缺失的基频效应，请查看Audacity，这是一个免费的音频编辑程序，并为自己制作一些正弦波。