本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点
公开认错是“单位根”系列中的一个新系列，希望只是偶尔出现。我不喜欢公开认错，但有时我在文章中会犯错，而有时错误也很有趣。
在上周五关于四色定理的文章中，我谈到了一些定理的假设，包括为了应用该定理，国家或州需要相互连接。换句话说，如果我要求密歇根州的上下半岛和“手套”都涂成绿色，我们不能保证能够用四种颜色为地图着色。我还说过，“稍微难以理解的是，一个国家不应该有洞，或者完全包围另一个或多个国家。” 这不是真的。我的一位读者通过电子邮件友善地指出了我的错误，并详细解释了如何看出有洞的国家不会危及四色着色性。
很明显，一个国家位于另一个国家境内——例如南非境内的莱索托——不会对四色着色构成障碍。莱索托可以用除南非使用的颜色之外的任何颜色着色，而莱索托使用的颜色不会影响可用于纳米比亚或博茨瓦纳的颜色。
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当我说一个国家不应该有洞时，我并没有想到像南非/莱索托这样简单的情况。我想到的是涉及多孔国家的更复杂的情况。我的理由是，我们可以取地图上需要四种颜色的区域，然后用一个与该区域所有国家接壤的国家包围它。周围的国家不能用我们已经使用过的四种颜色中的任何一种着色，所以我们必须添加一种额外的颜色。听起来很合乎逻辑，不是吗？唯一的问题是这是错误的。（我想补充一点，我确实尝试用一个小图来“实验性地验证”这种情况，并且我以为我成功了。我已经没有那张图了，但它肯定有问题。为自己辩解一下，我当时是在和朋友一起涂色，而不是写数学论文。）
四色定理并不完全是我们通常认为的关于地图和地球仪的定理。我们可以剥离一些细节——国家的尺寸和形状、河流和山脉的位置等等——只要我们保留所有关于哪些国家彼此接壤的信息。
通过使用图，我们可以将包含大量不必要信息的复杂地图简化为更容易理解和处理的东西。图的顶点是国家，边代表国家之间的边界。
来自地图的图总是具有一个特殊的属性：它可以被绘制成没有任何边相交。具有此属性的图称为平面图。我们现在可以用图论的语言陈述四色定理。每个平面图都可以用四种颜色对其顶点进行着色，使得没有边连接两个相同颜色的顶点。
指出我错误的读者 Kai Frederking 告诉我一个我不知道的图论事实。它是关于构成图“外部”的顶点，换句话说，就是没有被边完全包围的顶点。在地球的情况下，外部顶点是与海洋接壤的国家。顾名思义，外平面图是一个平面图，其中所有顶点都是外部顶点。我不知道的事实是，外平面图是 3 可着色的。
这个事实解决了一切！如果我们有一个有洞的国家，我们只需要担心包含在该国家内部的那部分地图。与周围国家接壤的内部国家只需要 3 种颜色，因为它们形成一个外平面图，所以我们有第四种颜色可用于为周围国家着色。我们仍然需要稍微担心周围国家内部的其余国家，完整的论证超出了这篇博文的范围，但是紧靠周围国家内部的国家的 3 可着色性是论证的关键。
Frederking 先生还分享了一个更直观的解释，说明为什么允许有多孔国家。他讲得很好，所以我将直接引用他的话。“直观的方法是假设一张地图，其中一个区域包围了一组国家，例如海洋，这违反了四色着色性，”他写道。
“现在想象一下在包围国家中切出一个走廊，使其不再包围中间的国家，但仍然与所有国家接壤。”
“如果之前违反了四色着色性，那么现在仍然会违反，因为没有删除任何接触边界（我们只是在一个地方切开了一个圆圈）。因此，我们将能够构建一个没有封闭区域的非四色着色地图，这与四色定理相矛盾。” 换句话说，我们可以使大的、周围的国家没有洞，而不会改变代表该区域的图。
这实际上非常酷。这意味着海洋可以参与地图的四色着色。我们可以用一种颜色（我建议蓝色？）为海洋着色，而地图的其余部分仍然可以在其周围进行四色着色。一个缺点是我们不能指定蓝色意味着水。会有一些内陆国家被涂成蓝色，也许是巴拉圭或蒙古，但这是我们为最大效率的制图付出的代价。
作为奖励，我们还了解到沿海国家构成了地球的 3 色子地图。我们知道整个地图，包括海洋，都是 4 色可着色的，所以我们也知道我们可以用剩余的 3 种颜色为所有与海洋接壤的区域着色。在 Sporcle 认可的 169 个国家中，只有 45 个是内陆国家，维基百科虽然由于包含一些有争议的地区，对“国家”的定义与 Sporcle 略有不同，但表示内陆国家仅占地球陆地面积的 11.4%。因此，地球的大部分可以用 3 色地图表示。我认为这很酷。
我在本文中使用的地图到图形插图的来源是这个 pdf。如果您有兴趣探索图论的一些与地图着色性相关的思想，我认为这是一个很好的介绍，不需要太多的先验数学知识。到笔记结尾，您将证明 6 色定理，它比 4 色定理弱，但更容易理解。
今天的“公开认错”版到此结束。我希望下一次是很久之后！