本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点。
在我们最新一期的“我最喜欢的定理”中，我的联合主持人凯文·克努森和我与贝茨学院的数学家阿德里亚娜·萨勒诺讨论了最漂亮的定理之一：康托尔证明实数比整数多。您可以在这里或kpknudson.com收听，那里还有一份文字稿。
萨勒诺谈到了她与这个定理的有些痛苦的个人联系。在大学里，她的一位教授告诉她，她不应该再学数学专业了，因为她在写这个定理的证明时犯了一个“错误”。
支持科学新闻
如果您喜欢这篇文章，请考虑通过以下方式支持我们屡获殊荣的新闻报道： 订阅。 通过购买订阅，您正在帮助确保关于塑造我们当今世界的发现和想法的具有影响力的故事的未来。
要理解实数比整数多的含义，我们需要知道如何衡量无限集合的大小。我们通过定义两个集合具有相同的大小来实现这一点，前提是它们可以完美配对。第一个集合的每个元素在第二个集合中都有一个对应的伙伴，反之亦然。
如果实数集与整数集的大小相同，我们就可以像列出整数一样列出实数。列表中会有一个排在第一位的实数，一个排在第二位的实数，依此类推。康托尔的对角线论证表明，无论你如何形成实数列表，它都是不完整的。一些实数——事实上，是无限多的实数——不会出现在列表中。
为了证明这个结果，你从一个提议的实数列表开始。然后，通过改变第一个数的第一个数字、第二个数的第二个数字等等，生成一个不在列表中的数字。当萨勒诺在考试中写下她的证明时，她是这样写的：
设列表中的第一个数的数字为A1、A2、A3等等。设第二个数的数字为B1、B2、B3等等。第三个数是C1、C2、C3，…… 你明白我的意思了。
她继续改变数字A1、B2、C3等等，抓住了康托尔证明的主要概念。教授没有给她任何学分。他的理由是：字母表只有26个字母，所以她只证明了一个包含26个数字的列表是不完整的。
原谅我的措辞，但这简直是胡说八道。可能有更好的方法来写这个证明，但她掌握了基本思想。坦率地说，我觉得很可笑的是，教授会认为，如果我们真的要执行这个过程，我们可以写出无限多的数字的任意多个数字，但却无法想象我们可以找出方法，一旦我们用完了字母表中的字母，就可以继续跟踪数字。有一本完整的苏斯博士的书讲的就是这个！如果反正我们不是在追求实用，为什么假设我们不能扩大字母表？这有点像看一集《星际迷航》，对曲速引擎或全息甲板没有任何问题，但却觉得克拉舍医生的近乎瞬时的伤口愈合技术不可信。
萨勒诺说，她太固执了，没有听从教授关于退出数学的建议，显然她最终还是成功了，但她必须如此固执真是令人沮丧。我很高兴我的大多数数学教授都鼓励我，即使我的证明有点笨拙或难以处理，并且认识到，小的簿记问题并不意味着我没有理解这些概念。