本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
二月份，我写了关于欧几里得的平行公设，它是构成欧几里得几何基础的庞大而幸福的定义、公设和公理家族中的害群之马。我收录了托马斯·希思翻译的《几何原本》中五个公设的文本
“让我们假设以下内容1）从任意一点到任意一点作直线。
2）将有限直线沿直线连续延伸。
3）以任意中心和距离作圆。
4）所有直角都彼此相等。
5）如果一条直线与两条直线相交，使同侧内角之和小于两直角，则这两条直线无限延伸后，会在内角和小于两直角的那一侧相交。”
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前三个公设给人的感觉很相似：我们定义了一些在构造图形以用于证明时可以做的事情。这些公设说，如果我们想，我们可以用直线连接两点，画出无限延伸的直线，并在我们想要的任何地方和任何大小画圆。这很合理。
但是，我们为什么需要一个公设来说明所有直角都彼此相等呢？您可能还记得在初中或高中几何课上学到，直角是 90 度角，如果两个角具有相同的度数，则它们是全等的。我们不需要一整个公设来说明这一点。这只是我们定义角度的方式的一部分。为什么不设置一个公设来说明所有 45 度角都彼此相等呢？或者所有 12 度角？第四公设似乎有点奇怪。但是欧几里得知道他在做什么，所以这个公设一定有原因。
为了理解这对欧几里得意味着什么，我们需要回顾一下欧几里得对角度的处理。在本书的开头，他收录了一些与角度相关的定义。定义 8 指出，“平面角是平面上两条相交但不成一直线的线的相互倾斜度。” 定义 10 说，“当一条直线在另一条直线上形成邻角彼此相等时，每个相等的角都是直角，并且垂直于另一条直线的直线被称为与另一条直线垂直。” 定义 11 和 12 分别用于钝角和锐角，它们被定义为大于或小于直角。直观地，我们都可以想象角度的更大和更小意味着什么：如果角 A 比角 B “更开放”，则角 A 大于角 B。如果角 A 比角 B “更封闭”，则角 A 小于角 B。当我们看到它时我们就知道。
但是欧几里得从未告诉我们究竟如何比较两个角。他从未讨论过度、弧度，或如何使用量角器测量角度。当代的希腊天文学家和数学家使用度，欧几里得可能也知道它们，但他没有在《几何原本》中使用它们。在没有测量角度的方法的情况下，欧几里得所说的角度相等可能意味着什么？
公理可能会提供一些启示。再次，来自希思的翻译
“1. 与同一事物相等的事物彼此也相等。2. 如果相等量加到相等量上，则和相等。
3. 如果从相等量中减去相等量，则余数相等。
4. 彼此重合的事物彼此相等。
5. 整体大于部分。”
表面上看，公理 4 似乎是在说一个事物等于它自身，但看起来欧几里得也用它来证明一种称为叠加的技术的合理性，以证明事物是全等的。基本上，叠加是指如果两个物体（角、线段、多边形等）可以对齐，使其所有对应的部分完全重叠，则这些物体是全等的。
例如，在《几何原本》第 1 卷命题 4 中，欧几里得使用叠加来证明边和角是全等的。命题 4 是边-角-边定理，它是一种证明两个三角形全等的方法。在奥利弗·伯恩的翻译中，我认为在这一点上它比希思的翻译更富有诗意，证明开始说，“设想两个三角形被放置成这样，一个等角的顶点落在另一个等角的顶点上……” 换句话说，欧几里得似乎描述了物理地将一个三角形放在另一个三角形的顶部。当他这样做时，他表明它们的所有部分都对齐，并得出结论，它们是全等的。
现在，欧几里得想要一个公设来说明直角是全等的，这变得更有道理了。我们需要知道在一张纸上创建一对直角与在另一张纸上创建它们是相同的。我们需要能够将这些纸片叠放在一起，并使角完全对齐。实际上，第四公设将直角确立为所有角度的测量单位。尽管欧几里得从未使用过度或弧度，但他有时将角度描述为等于若干个直角的大小。从这个角度来看，欧几里得的第四公设似乎并没有那么奇怪。
但是，如果您对第四公设感到有些反感，那么您并不孤单。普罗克拉斯，一位公元 5 世纪的希腊数学家，他撰写了对《几何原本》的具有影响力的评论，他认为第四公设应该是一个定理，并在他的评论中提供了对它的“证明”。但他的证明依赖于假设角度在我们空间中的任何位置“看起来”都相同，希思在他的 1908 年评论中将这种性质称为空间的同质性。基本上，希思指出普罗克拉斯的证明用另一个未说明的公设取代了第四公设。
希思写道：
“虽然这个公设断言了直角是一个确定的量这一基本真理，因此它确实充当一个不变的标准，通过这个标准可以测量其他（锐角和钝角）角度，但其中隐含的意义远不止于此，从以下考虑中可以很容易地看出。如果要证明该陈述，则只能通过将一对直角应用于另一对直角并论证它们的相等性的方法来证明。但是，除非假设图形的不变性，否则这种方法是无效的，因此必须将图形的不变性作为先前的公设来断言。欧几里得宁愿直接断言所有直角都相等这一事实作为公设；因此，他的公设必须被视为等同于图形不变性原则或其等价物，即空间的同质性。”
即使我们确实想在没有证明的情况下接受该公设，普罗克拉斯也宁愿我们称其为公理，而不是公设。他认为公设应该是关于构造的——我们做的事情——而公理应该是我们观察到的不言自明的概念。（公理有时被称为“共同概念”。）但是希思看到了第四公设应该放在现在位置的充分理由。
“至于公设 4 的存在理由和位置，有一件事是非常确定的。从欧几里得的观点来看，它必须在公设 5 之前出现，因为如果首先不明确说明直角是确定且不变的量，那么后者中关于某一对角的和小于两个直角的条件将是无用的。”
作为旁注，我发现希思对公理（他称之为共同概念）和公设之间差异的解释很有趣
“关于公设，我们可以想象[欧几里得]会说：‘除了共同概念之外，还有一些其他的事情我必须在没有证明的情况下假设，但它们与共同概念的不同之处在于它们不是不言自明的。学习者可能愿意或不愿意同意它们；但他必须在开始时接受它们，基于他老师的权威，并且必须让他自己在接下来的调查过程中相信它们的真实性。’”
1899 年，德国数学家大卫·希尔伯特出版了一本书，旨在将欧几里得几何置于更坚实的公理基础上，因为自欧几里得时代以来的两千年里，数学证明的标准和风格已经发生了很大的变化。希尔伯特使用了一组不同的定义和公理，在他的公式中，直角的相等是一个定理，而不是一个假设。但是，使用欧几里得最初的公设和公理集，第四公设是必要的。实际上，它将直角确立为角度的通用标尺。它不是我们现在习惯的，但它的效果与度或弧度一样好。
要进一步探索欧几里得的《几何原本》，请查看大卫·E·乔伊斯的页面。您可以在 Google 图书上阅读普罗克拉斯和希思的评论，如果您对公理几何学仍然不满足，希尔伯特的《几何基础》（pdf）可在古腾堡计划中找到。我要感谢瓦巴什学院的科林·麦金尼在本文的一些细节方面提供的帮助。所有错误均由我承担。