本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点。
去年夏天，来自smbc comics的扎克·温纳史密斯让我大开眼界。
图片来源：扎克·温纳史密斯，smbc comics。 点击此处查看原文。
我的反应基本上与右下角的面板一致
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调和级数会增长到无穷大，除非您剔除分母中带有数字 9 的项。
“有时这什...什么？什么？但是怎么会...搞什么鬼？！”
调和级数是无穷和 1+1/2+1/3+1/4+…，即每个正整数的倒数之和。即使这些项越来越接近 0，该级数也会趋于无穷大，这意味着它最终会变得比您能想到的任何数字都大。（这个问题很有趣，值得思考，所以我不会剧透，但维基百科有解释。）
令人费解的是，如果我们去掉 1/9、1/19、1/29 等等，级数反而会收敛。事实上，它小于 90，与调和级数的无穷大相比，这简直微不足道。
理解这个谜团的一个要素是一个令人困惑的事实：“大多数” 大数都包含数字 9，因此最终你会从调和级数中剔除大量数字。这个事实对我来说似乎非常奇怪，因为我对数字的直觉，主要是基于我们最常遇到的一位数和两位数，让我感到困惑。基于这些小数，感觉好像只有略高于 10% 的数字包含数字 9。但这是非常不正确的：随着位数的增加，几乎可以肯定，随机选择的数字将包含数字 9。
不难理解为什么大多数大数都包含数字 9。 就像许多概率谜题一样，最著名的是生日悖论，您可以从相反的方向来解决这个问题。 在这种情况下，我不直接计算有多少特定大小的数字以及有多少数字包含 9，而是计算给定大数不包含数字 9 的概率。
除了第一位数字不能为 0 之外，多位数中的任何一位数字都有 9/10 的概率不是 9。（第一位数字不是 9 的概率为 8/9。）因此，对于一个 2 位数，它不包含数字 9 的概率为 8/9×9/10，即 80%。另一方面，对于一个 10 位数，它不包含任何 9 的概率为 8/9×(9/10)9。这个概率要小得多，只有约 34%。当我们达到 100 位数时，随机选择的数字不含 9 的概率小于 0.01%。
我可以写下那个证明，但我对数字的直觉阻碍了我更深入的理解。这时，素数 tweetbot 出现了。 去年夏天，我写了我对数论的兴趣比以前浓厚了多少，我认为 @_primes_ 功不可没。 这个机器人每小时都会发布下一个素数。 我喜欢滚动浏览并转发我发现以某种方式令人愉悦的素数。
除了帮助我欣赏素数的美学价值外，@_primes_ 还帮助我理解了不含 9 的调和级数。 当我上次查看时，在它发布的最近 10 个素数中，有 6 个包含数字 9。 如果您选择任何数字并滚动浏览这些数字，您会发现该数字出现的频率比您的直觉可能让您相信的要高。 您可能会遇到一个数字在一段时间内没有出现的情况，但会被它们确实出现的长串数字所平衡。（例如，最近的所有素数都包含数字 2、5 和 6，这种情况还会持续一段时间。）
在注意到每个数字在素数 tweetbot 上出现的频率之后，大多数大数都包含任何个别数字的想法就自然而然地产生了。 我实际上不确定对此有何感想。 一方面，感觉自己终于理解了曾经让我困惑的事情，这令人满意。 另一方面，世界上又少了一件让我说“搞什么鬼？！”的事情。