本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
我想我没有在任何一个数学定义上花费比紧致性更多的时间。 这是一个重要的数学性质，最初让我完全困惑。
紧致性有两个定义。 一个是真正的定义，另一个是在某些常见的环境中等效的“定义”，即数轴、平面和其他欧几里得空间。（这两个定义等效的事实被称为海涅-博雷尔定理。）
紧致性的真正定义是，如果空间的每个开覆盖都具有有限子覆盖，则该空间是紧致的。 我不知道我在本科拓扑课上对自己重复了多少次这个定义，想知道我的咒语是否最终会帮助我理解紧致性到底是什么。
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几乎同时，我学习了欧几里得空间中紧致性的实用定义：如果一个集合是闭合且有界的，则它是紧致的。 如果一个集合包含所有在某种意义上是极值的点，则该集合是闭合的； 例如，包含外边界的实心圆是闭合的，而不包含外边界的实心圆不是闭合的。有界的有点像它听起来的意思：有界空间中的点都在彼此的某个固定距离之内。
我花了很长时间才将这两种看待紧致性的方式联系起来，我不会在这篇文章中这样做。（如果您正在学习分析或拓扑学入门课程，您可能有幸自己学习海涅-博雷尔定理。 好耶！）但我会稍微解释一下第一个定义。开覆盖是覆盖空间的开集集合（在此处阅读更多相关信息）。 一个例子是所有开区间的集合，它覆盖了实数轴。
实数轴上许多开区间的集合。 来源：伊芙琳·兰姆
当然，数轴上所有开区间的集合包含大量的区间！ 紧致性询问是否有一种方法可以将该集合简化为有限数量的区间，并且仍然覆盖整个数轴。 也就是说，我们能否找到有限数量的开区间，使得数轴上的每个点都至少位于其中一个区间内？ 我们可以消除很多区间，并且仍然覆盖该线——例如，我们可以只允许端点位于整数或整数加一半处的单位长度区间——但我们永远无法将我们的集合减少到有限数量的区间，并且仍然跨越整个数轴。 例如，如果我们将它减少到 100 个单位区间，我们最多只能覆盖无限数轴上 100 个单位的长度，而且这还是在没有区间重叠的情况下！ 因此，数轴不是紧致的，因为我们找到了一个没有有限子覆盖的开覆盖。
一个集合不必是无限长或无限面积才能是非紧致的。 闭区间和开区间是研究我们如何思考紧致性的一个很好的案例。 为了方便起见，我们不妨看看区间 (0,1) 和 [0,1]。（第一个是 0 和 1 之间的所有实数，不包括端点，第二个是 0 和 1 之间的所有实数，包括 0 和 1。）开区间 (0,1) 不是紧致的，因为我们可以构建一个没有有限子覆盖的区间覆盖。 我们可以通过查看所有形式为 (1/n,1) 的区间来做到这一点。 这些区间中的每一个都位于 (0,1) 内，并且放在一起，区间 (0,1) 中的任何数字都至少位于一个形式为 (1/n,1) 的区间中。 例如，点 .0001 位于区间 (1/10001,1) 中，即使它不在区间 (1/2,1)、(1/3,1) 以及直到 (1/10000,1) 的区间中。 但是，如果我们想用有限的子集合覆盖整个区间 (0,1)，我们将失败。 任何有限的子集合都将包含最大的区间，无论是 (1/10,1) 还是 (1/10000,1) 还是 (1/葛立恒数,1)。 在任何情况下，我们都可以找到介于 0 和最大区间的左端点之间的数字，这些数字不会被我们的有限子集合覆盖。
当我们添加端点 0 和 1 时，区间变得紧致。 现在，我们拥有的奇怪的开覆盖不再覆盖整个区间，因为点 0 和 1 不在任何区间中。 更难证明我们无法构造不同的病态开覆盖，所以现在您必须相信我的话。
证明某物是紧致的可能更棘手。 证明非紧致性只需要产生一个反例，而证明紧致性需要证明空间的每个开覆盖，无论构造多么奇怪，都具有有限子覆盖。 但最终我对紧致性以及这两个定义如何结合在一起有了严格的理解，从此过上了幸福的生活。
现在，在第一次与之斗争多年之后，我已经达到了 Terry Tao 可能描述为对紧致性的后严格理解。 紧致意味着小。 这是一种特殊的小，但从本质上讲，紧致性是在数学世界中变小的一种精确方式。 这种小很特殊，因为正如开区间和闭区间 (0,1) 和 [0,1] 的示例所示，一个集合可以通过向其中添加点而变得“更小”（即紧致），并且可以通过移除点而变得“更大”（非紧致）。
因此，作为一种小概念，紧致性有点令人担忧。 说一个集合可以“小于”完全位于其内部的集合，这有点令人不安！ 但我认为小是看待紧致性的一种有价值的方式。 紧致的集合可能面积很大且很复杂，但它是紧致的事实意味着我们可以使用拓扑学的构建块——开集，以有限的方式与之交互。 （有关开集的更多信息，请查看我的帖子改变你的开集，改变你的生活。）这就是紧致性定义中有限子覆盖的意义所在。 开集的有限集合使得以有限的方式解释集合中的所有点成为可能。 例如，这在海涅-博雷尔定理的证明中出现。
在我意识到紧致意味着小之前，我看到紧致集通常更容易处理。 在紧致集上定义的连续函数比在非紧致集上定义的函数具有更受控制的行为。 紧致二维曲面有一个很好的分类定理。 对非紧致曲面进行分类更加困难且令人不满意。 紧致曲面更受约束。 非紧致的曲面会像一团米饭布丁一样从你手中滑落。 紧致的曲面更像果冻：它们可能会晃动一下，但如果你不介意弄脏你的手，你可以抓住它们。
对紧致性的后严格理解使得“紧致”这个词可以从感觉像机器人语言的东西循环到与该词的英语含义非常接近的东西。 我不知道数学上使用“紧致”这个词的历史，所以我不知道这是多么有意的。 我喜欢将其视为数学-语言融合的一个令人愉快的意外。