本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
这个博客之所以名为“单位根”，是因为在2004年，我认为它会是一个很棒的乐队名称。
我在大学数学课上遇到了这个术语，我并没有幻想在不久的将来加入乐队，但似乎有必要准备一些好的乐队名称以备不时之需，以防万一。你永远不知道什么时候会有一个很棒的乐队在寻找一位已经选好了书呆子乐队名称的业余中提琴手。
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那么，单位根到底是什么呢？术语中的“根”指的是平方根、立方根以及您可能需要的任何其他根。对于任何整数n，数字k的n次根是一个数字，当它自身相乘n次时，会得到k。“单位”这个词，也许有点平淡无奇，只是意味着“一”。因此，单位根是任何数字，当它自身相乘若干次时，会得到1。
在这一点上，这个定义真的似乎有点小题大做：1和-1似乎是唯一符合要求的数字。但是，当我们谈论实数时，通常不会出现这个令人回味的短语：我们需要使用复数才能得到任何有趣的单位根。
复数由所有可以写成a+bi形式的数字组成，其中a和b是实数，i是-1的平方根。数字i在实数轴上不存在，因为任何实数自身相乘都是正数，因此使用字母i，代表“虚数”。虚数并不比数字6、8或27,000更虚幻，但这个标签一直沿用下来。数字i本身就是一个单位根：i2=-1，所以i4=1，使得i成为4次单位根。i的任何平方根、立方根或其他根也是单位根。
要了解单位根的特殊之处，我们需要稍微深入了解一下符号。如果您不喜欢符号，您可能应该跳过接下来的三个段落。
我们可以将复数集视为一个二维平面。我们用两个坐标来指定一个复数，就像我们在图表上一样：点 (1,1) 指的是数字 1+i。如果我们站在点 (0,0)，我们可能不想向右走一个单位，然后再向上走一个单位才能到达点 (1,1)。相反，我们将走对角线，以与 x 轴成 45 度的角度走 √2 个单位。在符号上，当我们使用这个径向距离和方向时，我们将复数写成 rei θ，其中 r 是距离，θ 是方向，通常以弧度而不是度数表示。一个整圆中有 2π 弧度，所以数字 1 写成 ei 2π。角度 45 度是 π/4 弧度，所以我们上面找到的点 (1,1) 将被写成 √2ei π/4。
这种用长度和方向指定点的方法称为使用极坐标，它最漂亮地出现在欧拉恒等式中，eiπ=-1。
极坐标使复数相乘变得非常容易。使用 a+bi 符号，您必须 FOIL（还记得中学代数吗？），最终您需要将总共四个项加在一起。但是使用 reiθ 的极坐标表示法，它非常容易：您将距离相乘，并将角度相加。所以 5eiπ/6× 2eiπ/3=10 ei π/2。因此，乘法既涉及扩展或收缩（这是距离部分），又涉及旋转（这是角度部分）。
我认为关于单位根最美妙的事情（除了这个很棒的名称）是它们是 0 和无穷大之间的某种平衡点。我的意思是，如果我们有一个写成 rei θ 的数字，当它自身相乘一定次数时，会得到 1，那么距离 r 本身必须是 1。如果 r 大于 1，比如 2，那么当我们将数字自身相乘越来越多的次数时，它与 (0,0) 的距离将从 2 变为 4 变为 8，并以此类推，呈螺旋形向外延伸到无穷大。如果 r 小于 1，比如 1/2，则该点将螺旋形向内收缩到 0：1/2、1/4、1/8 等等。1 是唯一能保持完美平衡的径向距离，当我们把数字相乘在一起时，它只是在圆周上行进。
为了更具体地说明这一点，我碰巧知道 ei2π/7 是一个单位根。当我将其升到 7 次方时，我得到 ei2π，即 1。每次我将 ei2π/7 与自身相乘时，我都会围绕圆周旋转 1/7。事实上，当我连续地将 ei2π/7 与自身相乘时，我得到了这张图片，我的博客横幅。
事实上，有七个 7 次单位根，并且图片中的每个金色圆盘都是其中之一。我们可以通过将 ei 2π/7 中的 7 替换为 n，来获得任何数字 n 的n次单位根。其他单位根的图片看起来很像上面的图，只是它们的金色圆盘数量不同。
我不确定单位根的数学定义是否能与作为乐队名称的这个短语的魅力相提并论，但我确实认为这是一个美丽的想法，并且在复分析中非常有用。既然“单位根”这个名字已经用过了，我现在仍在收集很棒的乐队名称。目前的两个领先者是“蝴蝶假设”，它与一位朋友的数学研究领域有关，以及“有预谋的迷迭香盗窃案”，这只是与我阳台和一些丢失的香草有关的不幸事件。