十二音程怀旧之旅，由 Vi Hart 友情呈现

本文发表于《大众科学》的前博客网络，仅反映作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点。

上周 Vi Hart 发布了一个关于十二音音乐的精彩 30 分钟视频，这真的让我回忆起往事！

（如果视频无法加载，请在 YouTube 上观看。）

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十年前，我还没有决定要从事数学。 事实上，我非常喜欢我的音乐理论课，并且我曾想过在研究生院学习它。 在 2003 年春季学期，我正在上二十世纪音乐理论课。 作为该课程作业的一部分，我创作了“ftc”，这是微积分基本定理一部分的十二音序列设置。 您可以在此处查看该作品的 pdf 文件。 这是一个 2004 年的扫描件，有些地方被截断了，但我已经没有原件了。 上面有很多彩色铅笔标记，显示了我当时正在使用的音列。

在我创作“ftc”时，我并没有真正理解微积分基本定理的重要性，但我知道它很重要。 如果我今天再写这首曲子，我会更仔细地考虑歌词的设置，而不仅仅是从微积分教科书中复制出来。

我喜欢创作十二音序列作品，因为玩转音列的不同属性很有趣，而且它有恰到好处的限制来激发我的创造力。

警告：本文的其余部分假设您对乐谱和音程有一定的了解。

要开始创作十二音序列作品，您只需将半音阶中的所有十二个音高按某种顺序排列。 我为“ftc”选择的音列是 F# A E D C# F B G G# A# D# C。

我的音列。 除上面嵌入的 Vi Hart 视频外，此页面上的所有图像均由 Evelyn Lamb 拍摄。

您必须按此顺序演奏音符（一次一个或以和弦形式）才能“算作”演奏音列。 但是在作品中，您也可以对原始音列进行一些修改。 您可以倒着演奏它，这称为“逆行”，或者做相同的音程但从不同的音高开始。 您也可以演奏相同的音程但方向相反，这称为“倒影”。 就我而言，倒影音列将以一个下降的小三度或一个上升的大六度开始，而不是一个上升的小三度。 您也可以组合变换，因此逆行倒影也是可以接受的。

如果我自卖自夸的话，我的音列真的很棒，因为它正好包含所有可能的音程各一次。 我们必须稍微注意一下我们所说的“所有可能的音程”的定义。 正如您所看到的，它包含两次小三度：F# 到 A 和 D# 到 C。（是的，D#-C 看起来像一个增二度，但我们会称之为小三度，因为我们是叛逆的现代音乐人！）在十二音音乐中，我们真的不在乎我们在哪个八度音阶中演奏，我们只关心音符名称，也称为音高类别。 中央 C 和高八度的 C 是“相同的”。 因此，我们可以假设所有音程都是上升的（或所有都是下降的），这将是我们对“所有可能的音程”的定义。（还有一种方法可以使用算术模 12 的语言来表达这一点，但我认为那是另一篇文章的主题了。）在我的音列中，我们开头有一个上升的小三度，结尾有一个上升的大六度。

我的音列，标有上升和下降音程。 TT 下面应该是一个小恶魔头，因为三全音/减五度/增四度以前被称为“diabolus in musica”（音乐中的魔鬼）。 现在您知道为什么我是数学家而不是警方素描艺术家了。

我决定使用 Hart 在她的视频中从 24:45 左右开始使用的时钟面方法，为我的音列画一些图。

音高排列得像时钟面上的数字。 红色方块中的数字表示我的音列中音高的顺序。 右下角的污迹表示我开始意识到我的笔漏墨弄脏了我的手指。

我是一名弦乐演奏者，所以我通常更喜欢升号而不是降号。 Hart 在她的视频中使用了降号。 这无关紧要，因为我们使用的是平均律。 我将音高按顺序从 0 到 11 编号，而不是从 1 到 12，因为我在写“ftc”时就是这样做的。 我们一定在课堂上使用了这个约定。 使用任一约定都有充分的理由。

我决定连接这些点。 我从音列的前六个音高开始。

音高 0-5 已连接。

然后我擦除了那些并连接了最后六个。

嘿，这看起来很眼熟！

第二张图片看起来像是第一张图片旋转了 180 度，这不是巧合。 我的音列的第一个音程是上升的小三度，最后一个音程是下降的小三度。 第二个音程是上升的纯五度，倒数第二个音程是下降的纯五度，依此类推。 如果你倒着演奏音列，你会得到你开始的音列，但降低了一个三全音。 这不是很酷吗？

放在一起，它看起来像这样。

这不是很漂亮吗？

我用橙色绘制了中间的三全音，因为它不属于任何一组六个音高。 它有点像连接构成整个音列的这两个对称部分。

如果我想将最后一个音符连接到第一个音符，我会再画一条橙色的线，因为第一个和最后一个音符也相隔一个三全音。

这样看起来真漂亮而且对称。

我决定从头开始，也用另一种方式可视化我的音列。 这次我想突出我使用的不同类型的音程。 首先，我在第一个和最后一个音程之间画线，它们都是小三度。

箭头显示音高在时间上的顺序。 我用同样的方式为其余的音程着色。

每种不同的颜色代表不同的音程大小。 我的颜色选择有限，因为我刚搬家，很难找到更多的记号笔。

现在我有一堆带有箭头的平行线！ 如果我们保持时钟面静止并将线条旋转 180 度，那么 D 和 C# 之间的蓝线最终将变成从 G# 到 G 的蓝线，箭头指向相反的方向。 所有其他颜色的线条也是如此。 再次强调，这不是巧合。 它突出了这样一个事实：音列的逆行版本与原始音列具有相同的音程，但起始位置相隔一个三全音（或半圈旋转）。

我希望我可以分享我使用这个音列创作的作品的声音文件，但我廉价的 midi 文件已经消失在历史的长河中了。 也许等我不再忙于整理公寓并为即将到来的旅行月做准备时，我会尝试制作另一个录音。 我保证音列听起来不错，尽管整首作品有时有点狂野。 音列的前四个音符创建了一个带有附加音符的 D 大三和弦，它具有很好的调性声音。 由于音列的对称性，最后四个音符也做了同样的事情，但使用的是 G# 大三和弦。

谢谢你，Vi Hart，提醒我序列主义是多么有趣！