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汉密尔顿颁奖典礼 托尼奖，我很高兴在《女服务生》的表演中看到了一些数学。
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在视频中大约1:30标记之后，服务员和女服务员用他们的馅饼做了一个可爱的旋转技巧。我不知道编舞者是否有意为之，但它是对一种叫做“盘子戏法”、“狄拉克带戏法”、“巴厘岛杯子戏法”或几个其他生动昵称之一的技巧的说明。为了纪念它在这个节目中的出现，我将称之为“馅饼戏法”。让我们再看一遍。
视频来自CBS，在gifs.com上制作成gif动画。
馅饼戏法的核心——或者说是馅料——表明，有时旋转360°不足以回到起点。你需要720°。这个想法——即做同一件事两次与什么都不做相同——不仅出现在数学中，也以电子自旋等形式出现在物理学中。
正如马克·斯塔利在一篇解释这个戏法的论文中写道，它“可能会让学生怀疑是否真正理解了四元数和旋量，或者这个戏法只是一个有趣的类比。” 昨天花了几个小时思考（和用手腕尝试）之后，我认为这个戏法很有帮助，但它奖励的是长时间的思考，而不是立即揭示其秘密。
我第一次听说馅饼戏法是用来证明SO(3)的基本群是非平凡的一种方法。让我们来解释一下。SO(3)，即3维特殊正交群的缩写，是固定一个中心点的3维空间旋转的集合。一个空间的基本群是该空间中本质上不同的环路的集合——如果你可以将其中一个环路摆动成另一个环路，它们就是相同的环路。只有那些不能相互摆动的环路，从基本群的角度来看才是真正不同的环路。
这就是它真正变得抽象的地方。SO(3)基本群的一个元素是SO(3)中的一个环路。这个环路是SO(3)中的一组点。但是SO(3)中的点不是我们通常认为的空间中的点——每个“点”实际上是一个旋转。这就是馅饼戏法可以帮助我们理解正在发生的事情的地方。
在馅饼戏法中，你手的方向——手掌朝向哪个方向以及手指指向哪个方向——代表SO(3)中的一个旋转。出于解剖学原因，手在戏法过程中在空间中向上、向下和周围移动，但对于我们的目的而言，这些运动并不重要，重要的是手的方向。在馅饼戏法中，手水平旋转360°，始终保持手掌向上。这时，手肘会笨拙地向上指。然后手继续朝同一方向再旋转360°，突然手肘又恢复到中立位置。如果你在做馅饼戏法时拍了很多你手的照片，那么你手中照片的方向将是SO(3)中的一条路径。
在馅饼戏法进行到一半时，你的手与开始时的方向完全相同，或者，用旋转的术语来说，你回到了SO(3)中你开始时的点。这意味着你的手臂到达那里的过程是SO(3)中的一个环路——起点和终点相同的路径。然而，你手肘的扭曲表明，你到达那里的路径是非平凡的。
有关馅饼戏法如何运作以及其全部含义的更多信息，请参阅维基百科文章，其中有一些解释并链接到更多资源。在Youtube上搜索Dirac belt可以找到更多关于该戏法的演示和解释。我特别喜欢这位物理系学生的演示，她先用一杯水，然后用她的辫子。
我觉得在我真正理解馅饼戏法与3维空间旋转以及更抽象空间之间的联系之前，我还有一些思考要做，但我需要休息一会儿。我的胳膊酸痛，而且所有关于馅饼的事情都让我饿了。
感谢我在犹他大学的数学家朋友丹尼尔·斯图登蒙德，几年前在午餐时向我展示了这个戏法，并在本周早些时候帮助我记起它的内容。