南瓜香料格子季到了！

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点

几年前，当我第一次看到社交媒体上关于 PSL 季节的帖子和表情包时，我有点困惑。我不喝咖啡，所以我不了解南瓜香料拿铁的兴起。我有时有点沉浸在数学的世界里，但即使是我也没有认为一大群人突然迷上了射影特殊线性群，仅仅因为它是秋天。

我写这篇文章完全是因为首字母巧合吗？是的。但是这些数学 PSL 与我息息相关，所以现在白杨树叶变黄了，空气中也有一丝凉意，我将充分利用这个关于写射影特殊线性群的文字游戏借口。

在数学中，一个群是数学对象的集合，以及一种将它们组合以获得同一组中其他对象的方法。一个简单的群的例子是整数集和加法运算。当你将两个整数相加时，你会得到另一个整数。（还有其他一些技术要求，但这就是主要思想。）

关于支持科学新闻

如果您喜欢这篇文章，请考虑通过以下方式支持我们屡获殊荣的新闻报道 订阅。通过购买订阅，您正在帮助确保关于当今塑造我们世界的发现和想法的有影响力的故事的未来。

数学 PSL 中的 L 表示线性，这是一种特殊的变换类型。这些变换可以用矩阵表示，矩阵是描述变换如何作用的数字数组。

一位数学家，就像一位穿着瑜伽裤的 Instagram 用户一样，不会只点一杯 PSL；她会指定她想要什么样的 PSL。在咖啡店，您可能会说您想要加杏仁奶、一份特浓咖啡和少量甜味剂。在数学中，您将指定矩阵的维度以及它们包含的数字类型。

在我的研究生研究领域中，两个 PSL 最受欢迎：PSL(2,Z) 和 PSL(2,R)。2 表示矩阵有两行两列。Z 代表整数，因此 PSL(2,Z) 中的矩阵必须具有整数项。R 代表实数，因此 PSL(2,R) 中的矩阵可以包含任何实数，包括分数和像 π 这样的无理数。

我们已经讲完了 PSL 中的 L。S 代表特殊，这意味着变换不会扭曲面积。此时，最好看一个例子。下面是一个矩阵变换正方形的示例：

因为现在是 PSL 季节，我当然用南瓜来做演示。每个整数坐标点都有一个南瓜，形成一个漂亮的南瓜（香料）格子。我们正在看的正方形是四个南瓜之间的一小块绿色区域。您可以将其视为左下角点为 (0,0)。变换后，得到的图形仍然具有直线边和相同的面积，但它不再是一个正方形。

一个稍微令人兴奋的矩阵，也在 PSL(2,Z) 中，是

南瓜之间的草地在这种变换下变形更大，但它仍然具有与原始正方形相同的面积。幸运的是，您不必测量奇怪区域的面积即可确定您的 2x2 矩阵是否特殊。如果矩阵

是特殊的，则数量 ad-bc（称为行列式）等于 1。

当我们离开 PSL(2,Z) 并移动到 PSL(2,R) 时，我们可以拥有像这样的矩阵

这不仅拉伸和（眨眼）压缩了正方形，而且还压缩了南瓜格子，或者

它旋转了正方形和格子。

现在我来坦白：到目前为止我所写的内容对于群 SL(2,R) 和 SL(2,Z) 来说是正确的，但我们还没有讨论 P。P 代表射影，这意味着我们将相对的两面视为相同。所以矩阵

被认为与矩阵相同

这种识别使讨论 PSL(2,R) 中的矩阵有点不严谨。如果您尝试将 PSL(2,R) 想象为一个空间，那么空间的每个“点”都是一对矩阵，而不是单个矩阵。所以我一直在隐式地选择考虑两个矩阵中的一个，而不是两个都考虑。

这使我们了解了 PSL(2,R) 和 PSL(2,Z) 在我的研究生研究领域中的真正用途。当我使用这些群时，并不是因为我正在考虑作用于平面上的特定矩阵。相反，我关心 PSL(2,R) 是因为它与双曲平面的关系，双曲平面是我研究的中心对象之一。研究空间的一个重要工具是其等距群，即保留空间中距离的变换集。在规则的欧几里得平面中，平移和旋转是等距的示例。双曲平面的等距与 PSL(2,R) 的元素之间存在对应关系。对于 PSL(2,Z)，该群的元素与不同形状的环面（带有一个孔的表面）之间存在对应关系。

我最喜欢的关于数学的名言之一是亨利·庞加莱说的，“数学是给不同事物赋予相同名称的艺术。”数学的真正工作通常在于找到正确的方法来给不同事物赋予相同的名称。就这两个 PSL 而言，这种对应关系为我们理解曲面奠定了坚实的基础。至于其他 PSL，恐怕庞加莱没有说太多关于咖啡的事情，但另一位数学家阿尔弗雷德·雷尼却说了。他说（尽管这句话经常被归因于保罗·埃尔德什）：“数学家是一种将咖啡变成定理的装置。”我认为秋天的一个合理的推论是，喝 PSL 的数学家一定正在将其变成关于矩阵和曲面的定理。