非常特殊的三角形

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

在整个（欧几里得）世界中，直到简单的缩放，只有一对三角形具有以下属性

• 一个三角形是直角三角形，另一个是等腰三角形，

• 两个三角形的所有边长都是有理数，并且

• 两个三角形的周长和面积相等。

这对三角形中的直角三角形边长为 (135, 352, 377)，等腰三角形边长为 (132, 366, 366)。如果您有疑虑，可以轻松地将边长相加，看看它们的周长是否相同。计算面积有点棘手。仅知道直角三角形的边长即可轻松计算其面积：它是两条较短边乘积的一半。对于等腰三角形，您可以应用海伦公式，该公式仅使用三角形的边长即可计算出三角形的面积，或者首先使用勾股定理找到三角形的高度，然后从那里计算出三角形的面积。无论您采用哪种方法，您都会发现每个三角形的周长均为 864 个单位，面积均为 23,760 平方单位。

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我以前从未想过要尝试找到两个周长和面积相同的有理三角形，所以当我发现时，我不知道该作何感想。（我为什么如此担心知道该作何感想是一个有趣的问题，超出了这篇博文的范围。）这令人惊讶吗？如果是这样，是只有一个这样的对令人惊讶，还是没有更多令人惊讶？我应该对这些非常特殊的三角形的边长如此之大或如此之小感到惊讶吗？我应该对证明这对三角形是独一无二的论文去年才发表感到惊讶吗？还是只有五页长？难道一切都不令人惊讶，还是一切都令人惊讶？这个我从未意识到自己有问题的问题的答案让我产生了更多的问题。

证明 (135, 352, 377) 和 (132, 366, 366) 构成具有所需属性的唯一三角形对的证明来自一个称为代数几何的数学领域。为了稍微简化一下，代数几何就像您的高中代数课——理解平面或更高维空间中符号方程和几何图形之间的关系——更进一步。代数几何的中心问题之一是如何确定给定方程是否具有任何整数或有理数解，如果有，有多少个。（要使解被视为有理数，所有变量都必须取有理数值。也就是说，如果方程有两个变量，x 和 y，则有理解将是 x 和 y 都是有理数的解。）例如，方程 x²−y²=5 有无限多个有理解和少量整数解，但方程 x³−y³=5 只有有限多个有理解，没有整数解。有理点很难找到是有道理的：毕竟，无理数比有理数多得多。但有些多项式有很多有理解，有些则没有。

揭示这对独特三角形的论文的作者吉野介·平川和松村英树表明，找到这样一对三角形等同于找到特定方程的有理解。然后，他们调用一些关于具有某些属性的方程可以有多少有理解的定理，追寻一些潜在有理解的线索，并发现只有一个实际上为他们提供了有效的三角形。证明很简短，但需要一些高深的工具。

特殊对中的等腰三角形的所有边长都是偶数。平川和松村在附录中表明，如果我们要求两个三角形都是本原的——也就是说，每个三角形的边长都是整数，并且它们没有大于 1 的公因子——那么没有一对三角形可以满足所有三个标准。证明不存在满足所有要求的本原对的证明比证明他们的特殊对是独一无二的证明要简单得多。另一方面，如果不要求三角形是直角三角形或等腰三角形，则有无限多对具有相同周长和面积的有理三角形。我还没有完全解决对此作何感想，但我认为这个问题是数学中有限与无限、容易与困难之间的界限本身可能很微妙且令人惊讶的又一个例子。