本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点
在我们播客“我最喜欢的定理”的最新一集中，凯文·克努森和我与威斯康星大学欧克莱尔分校的数学教授 aBa Mbirika（简称 aBa）进行了交谈。您可以在此处或kpknudson.com收听该集节目，那里还有一份文字稿。
如果您想观看 aBa 在联合数学会议上的演讲，他在节目中提到了该演讲，它已被录制，您可以在此处观看。
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与我们的许多嘉宾一样，aBa 在选择最喜欢的定理时遇到了困难。他带领我们回顾了他最喜欢的几个定理，然后选定了一个来详细介绍。他选定的定理并不是一个重要的定理。你在任何教科书中都找不到它。但当 aBa 还是一名刚入门的数学学生时，它对他来说很重要。
许多人熟悉 3 和 9 的整除性检验：如果一个数（十进制）的各位数字之和是 3 的倍数，则该数可以被 3 整除。如果各位数字之和是 9 的倍数，则该数是 9 的倍数。还有简单的方法来判断一个数是否可以被 2 或 5 或 11 整除。但您可能没有学过 7 的整除性检验。（有一个，但它不像 3 和 9 的规则那样容易使用。）
9 的整除性证明使用了模算术，在这种算术中，您只查看数字除以另一个数字时的余数。它也称为时钟算术，因为我们在报时时使用模 12 的算术。（10:00 过后五个小时是 3:00，因为 10+5=3 mod 12。）数字的各位数字之和是 9 的倍数，则该数可以被 9 整除的证明使用了十进制数字系统的基数 10 模 9 为 1 的事实。整除性规则使用模算术，因为基本问题是：这个数除以另一个数时余数是否为 0？
9 的证明让 aBa 大开眼界，所以在他学习后不久，他决定看看还能用这个一般想法做些什么。在一次长途巴士旅行中，他开始研究 7，看看相同的想法是否可以应用于 7 的整除性检验。10 等于 3 mod 7，所以他发现的检验使用了大量的 3。在十进制中，我们将数字写成 10 的幂的倍数之和。数字 3146 表示 6×100+4×101+1×102+3×103。如果我们试图弄清楚这个数字模 7 是多少，我们可以把所有的 10 都改成 3。模 7，3846=6×30+4×31+1×32+3×33。然后，如果这个数字可以被 7 整除，那么 3846 也可以。所以我们可以计算这个表达式：6+12+9+81=108。而 108 不是 7 的倍数，所以 3146 也不是。
7 的这个规则不如 3 和 9 的规则那样易于推广。您需要为 7 规则计算的 3 的幂变得笨拙。对于一个有 10 位数字的数字使用这个规则，需要将最左边的数字乘以 59,049。（一个给感兴趣的读者的练习：弄清楚如何通过利用 3 的幂模 7 的循环性质来调整这个规则，使其更实用一些。）但即使这个规则不是很有用，aBa 告诉我们，弄清楚这个定理及其证明改变了他的人生。他第一次在数学中创造了一些新的东西，他对此着迷了。
恩里克·特雷维尼奥是Lathisms 播客的嘉宾，他告诉了我一个类似的故事。让他着迷的问题是证明序列 2、5、8、11、14，…，其中后一个数字比前一个数字大 3，没有完全平方数。这个证明也使用了模算术，相当简单，但他将其描述为一次“大开眼界”的经历，为他的数学职业生涯铺平了道路。
我怀疑许多其他数学家也有类似的故事，讲述的是那些简单、通常不起眼的定理和练习，最初让他们觉得自己有能力在数学中进行创造。在我上的第一堂证明写作课上，我确实有这种感觉。所以今天，我向那些帮助我们成为数学家的微小定理致敬。