瑞士奶酪的意外发现

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点

逼近是数学中反复出现的主题。有时，似乎所有的数学都在说，“嗯，我知道如何在某个领域解决问题。有没有办法用这个领域来逼近其他领域？” 很多微积分都归结为用线性函数逼近任意函数。（就我们的目的而言，“线性”意味着“完全表现良好”。）傅里叶分析是信号处理的支柱，它完全是用简单的正弦波之和来逼近复杂的周期函数。许多数学家花费时间思考什么条件允许我们用更简单的函数来逼近函数。一种称为瑞士奶酪的数学空间是逼近无处不在的另一个例子。

就像熟食店的常见食品一样，数学上的瑞士奶酪也布满了孔洞。为了制作瑞士奶酪，我们从一个封闭的圆盘或填充的圆开始，它是平面上所有距离中心点小于或等于给定距离（半径）的点的集合。

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现在，我们以特定的方式在上面打满孔。我们想要移除开放的圆盘（填充的圆盘，但不包括它们的边界），并且我们对移除的圆盘有一些规则。如果你在数学中查找瑞士奶酪的定义，你会看到各种各样的定义，但就像埃曼塔奶酪和格鲁耶尔奶酪一样，它们只是不同的特定品种，都算作瑞士奶酪。

这是理论数学，我们移除了无限多个圆盘，但我们要求移除的圆盘的面积之和小于原始圆盘的面积（通常少得多），任何两个移除的圆盘都不重叠，并且得到的空间没有内部。也就是说，如果我们放大空间的任何部分，无论多小，它都有孔。很难想象这样的空间（并且不可能画出来，但这并没有阻止我），但有一些方法可以确保定义在数学上有效。

瑞士数学家爱丽丝·罗斯是第一个描述这些空间的人，她试图理解复平面中用有理函数逼近连续函数的极限。有理函数是两个多项式的比率。你可能在代数课上熟悉多项式。它们是一些最简单、最容易理解的函数。它们的表达式类似于 z+5 或 z³-9z+7。有理函数的表达式类似于 (z³-9z+7)/(z+5)。

是否总是可以用有理函数逼近连续函数，还是在某些空间中这种方法会失败？罗斯和其他数学家证明，在瑞士奶酪上存在不能用有理函数逼近的连续函数。

我既是一名数学家，又是一位奶酪爱好者，所以当我第一次听说有称为瑞士奶酪的数学对象时，我被吸引住了。相关的研究论文标题令人愉快。抽象瑞士奶酪空间和瑞士奶酪的经典化。瑞士奶酪、有理逼近和通用平面曲线。关于两个维纳香肠的交集体积。（最后一篇论文描述了在另一个双关数学空间维纳香肠上进行的与瑞士奶酪相关的计算。数学家喜欢食物。）关于这方面的一切都与我的兴趣相关。当我了解这个名字的历史时，它变得更好了。

当爱丽丝·罗斯第一次描述它们时，她没有使用“瑞士奶酪”这个术语。据我所知，她没有给它们取任何特定的名字。她把它们作为她在苏黎世瑞士联邦理工学院的博士论文中的一个重要例子，因该论文获奖，并获得了博士学位。她做过三十年的高中老师，在此期间她没有发表任何数学研究。退休后，她又重新投入研究，仍然在三十年前研究的同一领域，并在 60 多岁和 70 岁出头时继续从事重要的工作。（让 G. H. 哈代和你的“数学是年轻人的游戏”这种无稽之谈见鬼去吧！）可悲的是，她在 72 岁时死于癌症，当时她仍然充满数学创造力和热情。

在罗斯的教学职业生涯中，当她离开研究界时，瑞士奶酪在 20 世纪 50 年代被苏联出生的亚美尼亚数学家谢尔盖·梅尔格良独立重新发现，他出于类似的原因构建了它们，探索了各种环境中逼近的局限性。在某个时候，由于所有的孔洞，有人开始将它们称为梅尔格良的瑞士奶酪。当罗斯回到研究时，她看到她的例子在出版物中归因于梅尔格良，并纠正了这一记录。结果证明，瑞士奶酪这个名字比创造它的人所能意识到的更恰当。

要了解更多关于爱丽丝·罗斯、她的瑞士奶酪以及她对逼近理论的其他贡献，请查看乌尔里希·戴普、保罗·高蒂埃、帕梅拉·戈尔金和杰拉尔德·施米德的“瑞士的爱丽丝：爱丽丝·罗斯的生活和数学”。