关于整数，我所知道的最悲伤的事情

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

整数是唯一分解整环，所以我们无法调音钢琴。这是关于整数，我所知道的最悲伤的事情。

本月早些时候，我和一群女童子军谈论了数学，其中一个主题是数学和音乐的交叉点。我选择专注于我们如何将声波频率的比率感知为音程。我们将频率比为 2:1 的声音解释为八度音程。（频率越高听起来越高。）我们将频率比为 3:2 的声音解释为纯五度音程。可悲的是，我不得不告诉女孩们，这两个事实意味着没有钢琴是音准的。换句话说，你可以调味金枪鱼，但你不能调音钢琴。

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当我们调音乐器时，我们希望我们所有的八度和五度音程都是完美的。一种调音乐器的方法是从一个音高开始，然后算出其上方和下方的五度音程。我们从某个频率开始，称之为 C。然后，频率的 3/2 倍是 G，频率的 9/4 倍是 D（比原始 C 高一个八度和一步），以此类推。如果您在音乐生涯的某个时刻了解过“五度圈”，那么您就会知道，如果我们一直向上走五度，我们最终会回到我们想称之为 C 的音符。总共需要 12 步，因此如果我们保持所有五度音程完美，我们最终得到的 C 的频率是原始 C 频率的 3¹²/2¹²，或 531441/4096 倍。您可能会注意到 531441/4096 不是整数，更不用说 2 的幂了，所以我们的耳朵不会认为最终的 C 与最初的 C 音准一致。（531441/4096 大约是 130，比 2 的幂多 2，所以我们会听到顶部的 C 音偏高。）这不是假设从 C 到闪亮的 C 需要 12 个五度音程的问题。我们永远无法从一堆五度音程中获得完美的八度音程，因为 3/2 的任何幂都不会给我们 2 的幂。

不完美的八度音程对于任何听众来说都是相当不能接受的，作为一名弦乐演奏者，我非常喜欢完美的五度音程。所以我不能同时拥有它们已经够令人失望了。但是当我们添加三度音程时，故事变得更加复杂。即使我们能够解决讨厌的五度/八度问题，我们也会陷入一些听起来非常奇怪的和弦。当我们听到频率比为 5:4 的声音时，我们会听到一个完美调音的大三度音程（C 和 E 之间的音程）。但是，如果我们围绕五度圈进行毫不妥协的完美五度音程，我们会得到 3⁴/2⁴=81/16。如果我们除以 2 几次将 E 移回与 C 相同的八度音程，我们最终会得到 81:64 的比率，这比 5:4（或 80:64）略大，这意味着从 C 到 E 的大三度音程听起来太宽了。因此，五度音程也与大三度音程不兼容！再一次，我们永远无法从一堆五度音程中获得完美调音的大三度音程，也无法从一堆大三度音程中获得完美的五度音程，因为 5/4 的任何幂都不等于 3/2 的幂。

责怪唯一分解性。我们理所当然地认为整数的一个性质是，我们可以将除 -1、0 或 1 之外的任何整数分解为其质因数，并且分解是唯一的。（我们称之为算术基本定理。）因此，我们可以称整数为唯一分解整环。（如果您是真正的吹毛求疵者，您可能会担心负整数。分解在数字的符号上是唯一的，这足以成为唯一分解整环。如果这仍然困扰您，请忽略小于 2 的整数。）作为一个思想实验，我决定看看我们是否可以通过从整数扩展到另一组像整数一样的数字来解决这个问题，因为它们也可以相乘或相加。

一组这样的数字称为高斯整数，它由 a+bi 形式的复数组成，其中 a 和 b 都是整数，i²=-1。在高斯整数中，2 不再是质数，因为它可以分解为 (1+i)×(1-i)，它们恰好是质数。5 也不是，它可以写成 (1+2i)×(1-2i)。但是 3 在高斯整数中仍然是质数（这并不明显，但它是真的）。因此，2 和 3 仍然在高斯整数上没有共同的质因数，所以我们无法在那里解决我们的八度/五度问题。（并不是说我甚至知道用高斯整数除以频率意味着什么。就像我说的那样，这是一个思想实验。）同样，5 和 2 没有共同的高斯质因数，5 和 3 也没有。所以即使用复数除以频率有意义，那也没有帮助。

一组更奇怪的数字是 a+√5bi 形式的复数集合，或 Z[√-5]。看起来这与高斯整数没有什么不同，但事实并非如此。它不是唯一分解整环。例如，数字 6 可以分解为 2×3 或 (1+√5i)×(1-√5i)。* 这并不明显，但 2 和 3 不能进一步分解；它们是不可约的，(1+√5i) 和 (1-√5i) 也是如此。所以 6 有两种不同的分解方式。这会有帮助吗？好吧，如果我们将五度和八度结合起来，我们最终可能会在我们的频率比中得到一些 6 的幂。但是假设我们可以将 6 的幂除以 1+√5i 和 1-√5i。我们会怎么样？我们将 6 的幂减少了 1，但我们离将 3 变成 2 更远了。真倒霉！但至少我们玩了一些二次整数，对吧？

您可能已经注意到钢琴音乐并不总是听起来不和谐，因此质数困境肯定有一些解决方案。妥协，我的朋友。目前，大多数乐器都使用平均律，这使得所有五度音程都比完美的稍窄，这样八度音程就会音准。每个半音阶与任何其他半音阶具有相同的频率比率，并且该比率为 2^1/12:1。我们失去了使毕达哥拉斯音程听起来如此悦耳的纯有理比率，但我们获得了很多。毕达哥拉斯五度音程和平均律五度音程之间的差异不足以打扰除最挑剔的听众之外的任何人，但有些人可以察觉到。在平均律成为主流之前，至少对于键盘乐器和其他演奏者无法对音高进行细微调整的乐器而言，还有几种其他的律制妥协方案在使用。

一种解决方案是调整乐器，使某些调（通常是“容易”的调，如 C、G 和 D）的重要和弦的八度音程、五度音程和/或三度音程是完美的或非常接近完美的，但对于某些其他调则很糟糕。这些系统（通常是中庸全音律）最终产生了比完美五度音程窄得多的“狼五度”。具有狼五度音程的乐器实际上无法在某些调中演奏。然后出现了优律，它不是一个系统，而是许多不规则的律制，这些律制使不同的调听起来不同，但没有让任何调发出狼嚎般的声音，可以这么说。“十二平均律钢琴曲集”中的“优律”不是指乐器优美的音色（或乐器演奏者的平静心态），而是指该套曲是为具有律制的键盘乐器而创作的，该律制允许乐器在每个调中演奏。（《十二平均律钢琴曲集》是一套 24 首前奏曲和赋格曲，每个大调和小调各一首。学者们不知道键盘乐器的律制究竟是什么，但不太可能是平均律，正如一些音乐家所假设的那样。）

3/2、2 和 5/4 是不可公度的，这让我感到非常悲伤，但本周晚些时候，我希望分享一个我和女童子军一起做的关于音高感知的有趣的实验。它不依赖于同时拥有完美调音的五度、三度和八度音程，因此它不应该引起与律制相同的存在焦虑。

*本句和本段落中的其他句子在发表后进行了编辑，以纠正缺失的平方根符号。