扩展我们数学想象力的怪物

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

在我们最近一期的播客节目“我最喜欢的定理”中，我的联合主持人凯文·克努森和我有机会与本·奥林（Ben Orlin）交谈，他是一位数学教育家，也是热门博客Math With Bad Drawings以及两本书《Math With Bad Drawings》和《Change Is the Only Constant》的作者。 您可以在此处或kpknudson.com收听该节目，那里还有一份文字稿。

奥林决定不谈论定理，而是谈论一个最喜欢的数学对象——魏尔斯特拉斯函数。这个函数有时被称为“怪物”，它回答了连续性和可微性之间关系有多密切的问题。在数学中，[连续性](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%BA%8C%E5%87%BD%E6%95%B0)大致是您可能认为的那样：如果附近的输入被发送到附近的输出，则函数是连续的。（有更严格的定义吗？有！如果您坚持，请点击这里。）如果每个点都可以找到[切线](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%87%E7%BA%BF)，即近似函数在该点附近路径的直线，则函数是可微的。

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粗略地说，当您考虑函数图时，连续函数是没有跳跃的函数，而可微函数是没有角或尖峰的函数。 似乎很明显，函数必须是连续的才能是可微的。一个带有一个角的函数——例如绝对值函数 f(x)=|x|，其中如果 x 大于或等于 0，则 |x|=x，如果 x 小于 0，则 |x|= −x——在任何地方都是连续的，但在除 x=0 之外的任何地方都是可微的，因为它在该处有一个角。

构造一个有很多角的函数并不太难。 例如，您可以创建一个在每个整数处都有峰或谷的锯齿函数。 该函数在除那些孤立点之外的任何地方都是可微的，这些孤立点在数量上是无限的，但在空间上是礼貌地隔开的。 魏尔斯特拉斯想知道连续函数可以有多么不可微的极限，而这个例子表明它可以非常不可微！ 虽然该函数在任何地方都是连续的，但在任何点都不可微。

为了严谨起见，说这个魏尔斯特拉斯函数是不完全准确的。 魏尔斯特拉斯最初的构造允许选择两个参数，因此存在一系列这样的函数。 自魏尔斯特拉斯首次发表他的曲线以来，其他数学家已经定义了更多这样的怪物，甚至证明在某种意义上，大多数连续曲线都是处处不可微的。 这对于我们这些喜欢整洁数学的人来说是一个打击，但也许我们可以将其视为邀请，让我们对我们在数学中应该期望什么进行更大胆和更奇怪的思考。

在“我最喜欢的定理”的每一集中，我们都会要求嘉宾将他们的定理与某些事物配对。 您必须观看该节目才能了解奥林为什么认为[分子美食学](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E5%AD%90%E6%96%99%E7%90%86)是魏尔斯特拉斯函数的理想搭配。