本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
上个月，我写了一篇关于围绕着一篇关于备受研究的普林顿 322 号泥板的新论文的炒作。这块古老的 Mesopotamian 泥板，在过去的几十年里一直是许多学术论文的主题，上面有与直角三角形相关的数字列，但我们并不确切知道该表格是如何或为何创建的。
在我的文章中，我批评了研究人员为配合论文发布而制作的宣传视频。具体来说，我对其中一位研究人员就 60 进制（或六十进制）与我们今天使用的 10 进制（或十进制）系统的相对效用所做的奇怪评论感到恼火。
需要明确的是，60 进制比 10 进制有一个很大的优势：60 可以被 3 整除，而 10 不能。用 10 进制很容易写出分数 1/2、1/4 和 1/5：它们分别是 0.5、0.25 和 0.2。但 1/3 是 0.3333…。它的十进制表示形式不会终止。这对我们来说真的不是什么大问题，因为我们习惯于将数字表示为小数或分数。但是巴比伦数字系统并没有像我们那样用分子和分母来表示分数。他们只使用六十进制形式，这就像我们只使用小数而不是将数字写成分数一样。在六十进制中，1/3 可以很容易地表示为。它是 20/60，在六十进制系统中可以写成 .20。（古代 Mesopotamian 人并没有完全那样写，因为他们没有相当于小数点的东西。我们稍后会回到这一点。）
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当涉及到使用像 10 进制或 60 进制这样的位置数字系统轻松表示数字时，素数因子越多越好，但这些额外的因子是有代价的。在 10 进制中，我们只需要学习 10 个数字。30 进制（可以被 2、3 和 5 整除的最小进制，60 进制有一个额外的因子 2，这对于表示数字的容易程度来说并没有太大的区别）需要 30 个不同的数字。如果我们想用类似的表示形式来写像 1/7 这样的分数，我们就必须一直跳到 210 进制。使用如此多的数字很快就会变得很麻烦。
分母只有 2 和 5 因子的分数具有有限的十进制表示形式。12 进制也相当方便。它有 2 和 3 的素数因子，而且用一只手的指关节而不是单独的手指很容易数到 12。（我的一个数学史学生写了一篇帖子，主张使用 12 进制或十二进制数字系统。）使用 12 进制，我们将失去轻松表示 1/5 或 1/10 的能力。但是 30 或 60，允许素数因子 2、3 和 5 的最小进制，都非常大。这是一个权衡。就我个人而言，即使巴比伦数字那样相当不言自明，但要记住 30 或 60 个不同的数字对我来说也太多了，所以我坚持使用 10 或 12 进制。但是，如果那是你的菜，那就继续使用六十进制吧。
60 进制当然比 10 进制有主要的优势，但我对 Mansfield 在他们为配合论文制作的宣传视频中夸大这种优势的方式感到恼火。以下是我上个月写的关于它的内容
不同类型的三角函数表的效用可能是一个见仁见智的问题，但 UNSW 的视频也有一些关于 60 进制与我们现在使用的 10 进制系统中的准确性的彻头彻尾的谎言。在大约 1:10 处，Mansfield 说，“我们用 10 进制计数，它只有两个精确的分数：1/2，即 0.5，和 1/5。”我的第一个异议是任何分数都是精确的。数字 1/3 正好是 1/3。Mansfield 明确表示，他所说的 1/3 不是精确分数的意思是，它有一个无限（0.333…）而不是终止的小数。但是 1/4 呢？那是 0.25，它会终止，但 Mansfield 并不认为它是精确的分数。那么 1/10 或 2/5 呢？这些可以写成 0.1 和 0.4，这看起来相当精确。
令人难以辩解的是，当他赞扬 60 进制中可用的许多“精确分数”时，他并没有应用相同的标准。在 60 进制中，1/8 将写成 7/60+30/3600，这与在 10 进制中将 0.25 或 2/10+5/100 写成 1/4 的想法相同。为什么 1/8 在 60 进制中是精确的，而 1/4 在 10 进制中不是精确的？
我不想在这里重复我的文章，但我想澄清一点。一些批评这段视频批评的人认为，我在那里提到的数字只是视频中漂浮在空中的随机数字。它们不是！因为 Mansfield 没有解释这些数字的含义，所以它们可能看起来是随机的，但实际上，表达式 1/8=7.30 确实意味着一些东西。当我教数学史时，我让我的学生稍微使用了 60 进制算术，所以我立即认出了他展示的成对数字是 60 进制中的“倒数对”。对于公元前 1800 年受过数学教育的人来说，方程 1/8=7.30 的楔形文字等价物是有意义的。
来自研究人员制作的宣传视频的截图，该视频是为了配合他们关于巴比伦泥板普林顿 322 的论文而制作的。 来源：UNSW
巴比伦数字系统是一种位置或位值系统，就像我们的系统一样。在我们的十进制系统中，数字 1 如果单独存在，可以表示一个单位，如果它在像 10 或 12 这样的数字的十位，则表示十，如果它在左边的下一个位置，则表示一百，依此类推。在位置 60 进制系统中，会有个位、六十位、三千六百位等等，而不是我们习惯的个位、十位和百位。但除此之外，该系统的工作方式与我们的系统相同。这与例如罗马数字形成对比，其中 I 表示一，X 表示十，C 表示一百，依此类推。因此，巴比伦系统比罗马系统更容易让我们使用。
但有一个转折：巴比伦系统did不使用零，至少在开始时是这样。（当 我在 2014 年开始教数学史时，我写了关于这个怪癖的文章。）我们使用零作为占位符，无论是在数字中间（如数字 101 中），还是在开头 (0.001) 或结尾 (1,000) 以指示我们正在谈论的数字的数量级。古代 Mesopotamian 人没有这样做，尽管他们确实在数字中间留出了一点空间用于空位，我们会在 101 中写零。他们假设上下文会使数量级清晰。在我们的数字系统中，这将类似于写 1 并假设它会清楚地表明是指一、十、十分之一、一百还是另一个我们只使用数字一和零来写的数字。
这听起来令人困惑，它确实导致了一些错误，但我们也基于我们书写数字的方式犯一些愚蠢的错误：例如，在某些人的笔迹中，数字 6 和 0，或 1 和 7 看起来很相似。如果上下文理解，我们有时甚至会省略数量级。人们谈论吃含有 100 卡路里的东西，这实际上意味着 100 千卡路里。房地产广告有时会说“100 美元起”的房屋（当我是个孩子时在德克萨斯州郊区）或“500 美元起”的单元房（在今天的大城市）。如果你带着几百美元出现，认为你会成为房主，你肯定会因为不理解这些数字末尾隐含的“千”而感到非常遗憾。
今天，计算机通常使用浮点运算来表示和操作数字，这可能会让你想起科学计数法。一组数字表示数字中的数字，另一组数字表示其数量级。这样，存储数字 12 和数字 12,000,000 基本上需要相同的内存量。尽管巴比伦系统没有像现代计算机那样清楚地指示数量级，但相似之处足以让一些人将其称为六十进制浮点。
在巴比伦数字系统中，1 可以表示一、六十、三千六百或其他 60 的幂，这一事实导致了一种不同的除法思维方式。如果他们不得不除以一个数字，他们会乘以该数字的“倒数”。如果两个数字的乘积是数字 1，则它们将互为倒数。但这可能意味着任何在 60 进制中写成数字 1 的等价物的东西：1、60、3600、1/60 等等。因此，4 和 15 在 60 进制中形成倒数对，因为 4×15 是 60。3 和 20、5 和 12 以及许多其他组合也是如此。（这些对可能感觉很熟悉：一刻钟有 15 分钟，三分之一有 20 分钟，等等。我喜欢将此视为残余的六十进制。）倒数表还包括更复杂的倒数对：8 和 7,30；9 和 6,40；1,21 和 44,26,40。（今天，当我们用我们的印度-阿拉伯十进制数字写六十进制数字时，我们通常在它们之间放逗号以避免歧义。7,30 表示一个位置是 7，一个位置是 30。数量级仍然取决于上下文。）
起初，像 1/4=15 和 1/8=7,30 这样的陈述对我和我的学生来说感到不自然，但我认为将它们转换回 10 进制可以有所帮助。当我还是个孩子的时候，我发现了一个惊人的事实：与其乘以 5（对我来说很困难），不如除以 2（对我来说很容易），然后再乘以 10。我并没有完全那样想。我更多地认为它是“除以 2，然后使数字大小合适”。后来我发现，人们可以逆转这个过程：你可以通过乘以 2 并使数字大小合适（通过除以 10，这看起来像是减去一个零或将小数点向左移动）来除以 5！我还发现，我可以通过使用相同的技巧并添加另一个 0 来乘以 50。
我对这些小技巧感到非常满意，但从未告诉我的老师，因为我确信我在作弊。如果被抓住，我就必须学习如何乘以或除以 5。太可怕了！我现在知道为什么我的技巧有效以及它们不是作弊。我正在使用 5 和 2 是十进制浮点倒数的事实。事实上，能够以方便的方式分解数字以使算术更容易是很好的。当我第一次接触巴比伦 60 进制系统时，我将 5-2 技巧识别为六十进制“倒数对”的 10 进制版本。虽然 Mesopotamian 数学可能不会改变我们进行三角运算的方式，但玩弄数字并了解不同的数字表示方式可以帮助学生（和非学生）发展我们的数字感并获得乐趣。
有关巴比伦数字系统的更多信息： 来自 MacTutor 数学史网站的巴比伦数字介绍 Duncan J. Melville 的 Mesopotamian 数学页面；特别参见“专题”，其中包括关于巴比伦倒数对的文章