本文发表于《大众科学》的前博客网络，仅反映作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
多元微积分从来不是我最擅长的科目——我对图形和方程没有很好的直觉，所以我经常难以可视化问题。我倾向于像拓扑学家或一个玩橡皮泥的幼儿那样看待形状：对我来说，确切的方程不是特别重要，重要的是大规模的特征。我把数学形状想象成用粘土做成的，而不是用精确的公式绘制的图形。总而言之，当有人给我看一个方程，而我应该知道如果把它画成图形会是什么样子，或者当我要用方程来描绘我看到的图像时，我仍然会感到有点畏惧。
今年夏天早些时候，在一个关于数学绘图的愉快会议上，一位演讲者向我们介绍了Surfer，我开始玩了起来。Surfer是一个免费程序，您可以从开放数学网站Imaginary下载，它具有简单的学习曲线。该程序内置了许多方程及其图形，您可以在安装后立即开始修改它们。
当我们在玩Surfer时，另一位与会者制作了一个让我惊讶的形状：两个链接在一起的空心环，或称圆环面，如图所示在本帖顶部。“他是怎么做到的？”我想，“找到一个可以同时创建这两个圆环面的方程一定非常困难！”
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然后他向我展示了他使用的方程，我突然领悟到：当您绘制方程图形时，同时绘制多个对象并不难，因为绘图可以让您将加法变成乘法。
通常我们认为乘法比加法更复杂，因此将加法变成乘法似乎是错误的方向。优秀博客Math with Bad Drawings的Ben Orlin最近写了一篇关于对数的节奏（或者更不诗意地说，对数）的文章，其中强调了对数最重要的一个方面：它们将乘法变成加法。
作为复习，取对数是指数运算的逆运算。指数运算是求幂：例如，34表示3×3×3×3。由于对数是指数的逆运算，因此方程34=81等价于log3(81)=4。概括来说，y=bx 和 x=logb(y) 编码了底数 b 与数字 x 和 y 之间的相同关系。
对数通过利用指数的这个性质将乘法变成加法：bxby=bx+y，因此 logb(xy)=logb(x)+logb(y)。 （有关其工作原理的详细信息，请查看有关对数和指数运算的此页面。）计算尺是现代计算器取代它们之前必不可少的计算工具，它们利用了这种关系。现在它们可能看起来笨重，但在每个人都有计算器或计算机为他们进行算术运算之前，对数使人们能够进行比传统乘法算法快得多的计算。
当我们在进行算术运算时，加法比乘法更容易，因此我们使用对数将乘法问题变成加法问题。但是正如我在玩Surfer时意识到的那样，当我们在绘制多项式图形时，乘法比加法更容易。我们可以通过将两个形状的方程相乘来“相加”这两个形状。
为了说明我的意思，让我们看看如何在Surfer中绘制方程图形。
Surfer的输入框。图片来源：伊芙琳·兰姆
该界面允许您在等号的左侧输入变量x、y和z的方程，但右侧始终固定为0。
起初，这似乎很局限。例如，半径为1的球体的方程是x2+y2+z2=1，我们无法将其输入到Surfer中。但是通过从方程的两边减去1，我们得到了完全可以接受的，如果稍微不那么美观的，x2+y2+z2-1=0。作为奖励，我们得到了一个闪亮的粉红色球体。
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图片来源：伊芙琳·兰姆
为什么右侧总是0？如果您回想一下数学课要求您处理多项式，您可能会记得0是一个神奇的数字。例如，如果我要求您解方程x2+x=12，您可能会本能地从两边减去12（或“将12移到另一边”）得到x2+x-12=0，然后将左侧分解为(x+4)(x-3)，并告诉我x是-4或3。那是因为当方程的一侧为0时，因式分解非常有用，而当方程的一侧不为0时，因式分解就没那么有用。
如果我们的方程是(x+4)(x-3)=2，我们就没有什么可继续下去的了。如果两个数相乘等于2，其中一个可能是1，另一个可能是2，或者一个可能是π，另一个可能是2/π，或者一个可能是-1/2，另一个可能是-4。但是如果两个数相乘等于0，那么其中一个数必须是0本身——反之亦然：如果您将两个东西相乘，其中一个为0，则乘积也必须为0。
另一种思考方式是，在乘法中，0就像“或”字。 如果我们有两个多项式f和g，并将它们相乘得到0，则语句f×g=0等价于“f或g为0”。可能f和g都为0，但“或”是所有必要的条件。当您以这种方式思考时，借用斯蒂芬·桑德海姆在《拜访森林》中面包师妻子的台词，“或”字 比以前意味着更多。
我们可以利用乘法的这个性质使加法更容易。如果我们知道如何为两个不同的形状或同一形状在两个不同的位置编写方程，我们可以将我们得到的两个方程相乘。当其中任何一个方程满足时，结果方程都将满足，这等效于同时绘制两个形状。我们将绘制两个形状的加法问题变成了多项式的乘法问题。
你们中的一些人可能对我随意使用“加法”这个词感到恼火。加法是用于数字的。加形状是什么意思？你抓到我了。我真正应该在这里使用的词是并集。
在数学中，取两个事物的并集只是意味着您将这两个事物组合在一起。如果您取奇数整数和偶数整数的并集，您将得到所有整数。如果您取一个甜甜圈和另一个不与其重叠的甜甜圈的并集，您将得到两个甜甜圈。
就像乘法中的0一样，并集类似于“或”字。如果某物在集合A并集集合B中，则它必须在集合A或集合B中。这与两个集合的交集形成对比，交集就像“与”。如果某物在集合A交集集合B中，则它必须同时在集合A和集合B中。
回到会议上，当我第一次看到我的Surfer同伴创建的链接圆环面时，我感到害怕，因为我把这个问题看作是一个与的问题。但它是或， 而或更容易。