本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
本周早些时候，我想起了乔丹·艾伦伯格的 《How Not to Be Wrong》 中的一段话
这是我最早的数学记忆。我躺在父母家的地板上，脸颊贴着长毛地毯，看着立体声音响。很可能我在听披头士乐队《蓝色专辑》的 B 面。也许我六岁。那是七十年代，因此立体声音响被包裹在压制木板中，侧面冲压着矩形阵列的通气孔。横向八个孔，纵向六个孔。所以我躺在那里，看着通气孔。六排孔。八列孔。通过来回聚焦我的目光，我可以让我的大脑在看到行和看到列之间来回切换。六行，每行八个孔。八列，每列六个孔。 然后我就明白了——八组六个和六组八个是相同的。不是因为它是我被告知的规则，而是因为不可能是其他方式。面板上的孔数就是面板上的孔数，无论你以哪种方式计数。
5×3 是五组三个还是三组五个，是本周早些时候那些“共同核心数学” 愤怒帖子 的中心问题。（我把“共同核心”放在引号中，因为尽管这些问题通常被分享为“共同核心”数学的例子，但共同核心是一套标准，而不是课程。有关这种差异的更多信息，请参见 共同核心网站。）
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我通常尽量避免过多评论我在 Facebook 或 Twitter 上看到的关于赞成或反对“共同核心”数学的帖子。我没有孩子，也没有太多教孩子的经验，所以我感觉自己没有资格对小学不同教学或学习方法的优劣做出全面的评价。
话虽如此，我确实以某种兴趣关注着共同核心的帖子。数学教育对我来说很重要，我也有兴趣看到它做得好。总的来说，我倾向于赞同 Brett Berry 的 Medium 帖子 中表达的观点。在我看来，有时对“共同核心数学”感到沮丧的家长在他们自己的数学课上没有良好的体验，并且不具备共同核心旨在在儿童中培养的某些数学能力。如果旧的教学方法效果不佳，那么反对新的教学方法似乎是短视的。
在 最近的一次争议爆发 中，一位学生被要求通过重复加法解决 5×3，并写下 5+5+5=15。“正确答案”应该是 3+3+3+3+3=15。下一个问题要求学生使用数组解决 4x6。学生画了一个 6 行 4 列的数组，而不是 4 行 6 列的数组，因此失去了一分。
正如年轻的乔丹·艾伦伯格在盯着立体声音响时发现的那样，这是一个基本的数学事实，乘法运算中数字的顺序无关紧要。乘法满足交换律：三组五个与五组三个具有相同数量的物体。当学生的答案正确时，很容易感到愤怒，因为学生受到了惩罚。《友好无神论者》博客的作者赫曼特·梅塔 Friendly Atheist，写了一篇长篇博文，列出了老师可能将 5+5+5 标记为不正确的几个原因。梅塔的基本论点是，老师不仅在教学生现在如何解决问题，而且还在为他们未来的数学课做准备。（如果您好奇，他确实链接到了 共同核心标准，该标准提到了乘法中的分组。）
我同意梅塔写的一些内容，但我有两个主要的异议。一个是关于语义的，另一个是关于更广泛的教学目标的。
首先，语义。5x3 是什么意思？我认为对于五组三个或三组五个，都可以做出同样（不）令人信服的案例。如果我们说“五乘以三”，那么这些词语的字面意思更像是五组三个而不是三组五个，但这并不是我们在英语中通常会说的方式。我认为五组三个的解释略占优势，但只是略微的。
另一方面，如果我们看数学符号，则可以认为三组五个的扩展性更好。具体来说，如果我们想将乘法视为重复加法，将指数运算视为重复乘法，并将 ↑↑ 视为重复指数运算，那么三组五个是可行的方法。53 表示 5×5×5，而不是 3×3×3×3×3。将 5×3 视为 5+5+5 更符合这种符号表示法。（您可能会争辩说我们的指数运算符号应该改变，但您将面临一场艰苦的战斗。）
总而言之，在我看来，从语义的角度来看，5x3 在五组三个和三组五个之间是平局。《共同核心标准》提到，“解释整数的乘积，例如，将 5×7 解释为每组 7 个物体的 5 组物体中的总数。”我不清楚这是否是我们应该解释 5×7 的唯一方式。
这引出了我的下一个异议，这可能是更实质性的，但也可能更依赖于具体情况。我没有上过这位老师的课，所以我不知道为什么将 5x3 视为五组三个而不是三组五个对他或她很重要。我不知道学生们是刚学了乘法还是在复习乘法，或者老师对乘法的行 x 列视图有多重视。
考虑到这些注意事项，我的异议是梅塔的建议，即将 5x3 视为五组三个将在未来帮助学生学习除法或矩阵乘法。
首先，我不相信关于除法的论点。梅塔写道：
当他们看到一个问题说 5 x ___ = 15 时，他们会想“我需要五组某个数字才能得到 15。”换句话说，他们能够更快地掌握除法，因为他们现在正在学习正确的思考方式。
我不太确定。如果他们看到一个问题说 5×___=15，并想“我需要某个数量的五组才能得到 15”，我觉得他们同样为除法做好了准备。我不清楚哪种思考方式能更好地建立对除法的直觉。
矩阵乘法呢？确实，对于矩阵来说，A×B 通常与 B×A 不同。（它甚至可能是不同大小的矩阵。）学生有时会与这种残酷的现实作斗争，我同意值得尝试帮助他们防止犯这个错误。在矩形数组问题的情况下，我不相信坚持第一个数字必须是行数，第二个数字必须是列数会帮助学生未来学习矩阵乘法。正如 安迪·基尔什写道，“将矩阵描述为行乘列本质上是任意的。我们本可以同样容易地选择将它们写成列乘行。”即使这有助于学生记住矩阵乘法的工作方式，我担心现在过于强调哪个数字是列，哪个是行会牺牲数感，以便以后学习矩阵乘法，而且我很难相信这种权衡是值得的。
我记得在小学时发现，如果我将一个数字乘以 10，然后除以 2，最终结果就是乘以 5。我可以在脑海中进行乘以 10 和除以 2 的运算，所以这省去了我手动写下乘法算法的麻烦。我以为我在作弊。乘法是你通过在一列中写下两个数字，然后按照规定的顺序将一堆记忆的事实应用到它们上来完成的事情。对我来说，我的方法给出了正确的答案是有道理的，但我认为你不应该那样做。过了一段时间我才明白，拥有一套强大的方法来解决算术问题是有帮助的，而不是作弊。
总的来说，<0xC2><0xA0>共同核心似乎鼓励培养数感和使用多种方法解决问题，这本可以缓解我小学时的良心不安。数感的一个重要组成部分是利用加法和乘法的结合律和交换律来使问题更容易。45+38 有点难，但我可以将 45 中的 2 转移到 38 中，得到 43+40，这我可以用心算完成。我担心，如果我们对 5×3 的含义过于死板，我们就不会鼓励学生培养对数字的流畅性，而这种流畅性将帮助他们找到解决算术问题的简便方法。
您认为强调乘法的行和列视图会避免学生将来在学习矩阵乘法时遇到太多麻烦吗？<0xC2><0xA0>您认为是否有充分的教学理由让学生区分五个 3 和三个 5？在学生可以互换使用五组三和三组五之前，他们能够解释为什么它们是相同的很重要吗？您认为将 5×3 解释为五组三还是三组五更自然？我很想知道您的想法。
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