本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
我昨天写了一篇关于消失的基频效应的文章。这是一种令人惊讶的听觉错觉，你的大脑会听到一个比实际播放的任何音符都低的音符。
我决定去Desmos，一个在线图形计算器，并摆弄正弦波，看看消失的基频是否像看起来那么奇怪。记住，声音和乐器产生的声音是由许多不同的正弦波组成的。最低的那个被称为基频，其他的通常是基频的整数倍，也称为谐波。
为了开始我的音乐可视化，我绘制了函数y=sin(x)和y=sin(2x)的图像，y=sin(2x)的振荡速度是sin(x)的两倍。用音乐术语来说，这些将是频率比为1:2或八度的音高。声波是可叠加的，所以我还绘制了函数y=sin(x)+sin(2x)的图像。像sin(x)一样，这是一个周期函数，它与sin(x)具有相同的周期。在音乐上，它听起来会像sin(x)一样的音高，但音色或音质会有所不同。
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然后我绘制了函数 y=sin(nx)，一直到 n=7。你可以看到有很多变化，但是这些图在几个地方都对齐了。
下面是所有这些函数的总和。这是一个周期函数，与sin(x)具有相同的周期。再一次，我们会听到与sin(x)相同的音高，但音色会与纯正弦波不同。
现在我们将直观地创建消失的基频效应。我们将从正弦波 y=sin(2x)、y=sin(4x) 和 y=sin(6x) 开始。它们的对齐频率是 sin(x) 的两倍，因此在音乐上，我们会听到比 sin(x) 高八度的音高。
现在我们加上 sin(7x)。在音乐上，波 sin(7x) 的音高将比 sin(x) 的音高高两个八度和一个小七度。因为 7 是奇数，所以 sin(7x) 的图在其他所有图汇聚的一些地方都有一个峰值，并且它改变了模式重复的方式。你可以看到这些函数对齐的频率只有偶数函数的一半。
这就是这些函数的总和的样子。
这个函数的周期与 sin(x) 的周期相同。是的，在 sin(2x) 的周期所在位置的中间有一个明显的凸起，但波形与从 sin(x) 到 sin(7x) 的所有函数的总和的波形非常相似。下面是一个比较。
函数 y=sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)+sin(5x)+sin(6x)+sin(7x) 以黑色显示，函数 y=sin(2x)+sin(4x)+sin(6x)+sin(7x) 以橙色显示。
在实践中，您可能会听到它的频率与 sin(x) 相同，这意味着添加高频音符 sin(7x) 会降低感知到的音高。如果我们添加更多较低的奇数“谐波”，我们会得到更接近 f(x) 的东西。
函数 y=sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)+sin(5x)+sin(6x)+sin(7x) 以黑色显示，函数 y=sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)+sin(5x)+sin(6x)+sin(7x) 以蓝色显示。
在摆弄了这些图之后，我对消失的基频效应不再感到惊讶。它看起来像鸭子，所以为什么它不应该像鸭子一样嘎嘎叫呢？但是这个实验确实让我重新思考了我对将声音加在一起意味着什么的直觉想法。我们的大脑没有为我们听到的每种声音设置单独的通道。一切都进入耳朵，当我们找到模式时，我们将它们解释为音乐、声音、汽车喇叭或任何东西。当我们对着电话说话，电话接收到的是蓝色波而不是黑色波时，我们的耳朵会听到非常像黑色波的东西。当然，真实的声音比我制作的波形复杂得多，但是摆弄这些图有助于我更清楚地理解为什么会发生消失的基频。如果您想自己玩一下，Desmos只需点击一下即可。
这个通过添加三角函数创建波形的过程称为合成，我们也可以逆转这个过程，从一个周期函数开始，将其分解为正弦和余弦的和。这被称为傅里叶分析，工程学教授比尔·哈马克有一个很棒的视频系列，解释了一种叫做谐波分析仪的十九世纪机器，它可以机械地执行合成和傅里叶分析。警告：可能会让您渴望拥有自己的谐波分析仪。