本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
大约一个月前，我从一个梦中醒来，对我要为情人节写的精彩博文感到非常兴奋。在我的梦中，我将连分数的数学概念视为浪漫的隐喻，我震惊地发现没有人写过关于这两个主题之间美丽而自然的对应关系。当我的大脑更充分地进入现实世界时，我意识到这种对应关系并不那么自然，甚至可能并不美丽。但我不会让这阻止我！在这个情人节，我不会试图用心形线和心形的谢尔宾斯基三角形来吸引你。相反，准备好被连分数所震撼吧，这是庆祝数学情人节最梦幻的新方式！
首先，连分数看起来很像分数，但更进一步。
关于支持科学新闻事业
如果您喜欢这篇文章，请考虑通过 订阅来支持我们屡获殊荣的新闻事业。通过购买订阅，您正在帮助确保有关塑造我们当今世界的发现和思想的具有影响力的故事的未来。
与像 1/2 这样的数字不同，它在分子和分母处停止，分母也包含一个分数。而该分数的分母又包含一个分数，依此类推。我们可以在这样的表达式中包含有限或无限数量的项。如果是有限的，那么不难看出连分数表示一个有理数。
另一方面，如果连分数有无限数量的项，那么它表示一个无理数。实际上，这是连分数相对于数字的十进制表示的一个巨大优势。一些有理数，例如 1/3=.333333… 和 1/7=.142857... 具有非终止（但循环）的十进制表示。一个数字的十进制表示是否终止不仅取决于该数字是否是有理数，还取决于有理数的分母与十进制系统的基数 10 的关系。这有点武断：为什么表示是否终止应该基于数字 10 的属性？连分数的一个优点是它没有内置这种不对称性。
就本文而言，我们将要求连分数的分母中只能有 1，分母中只能有正整数，尽管我们允许在前面添加任意正整数或负整数。所以我们讨论的是看起来像这样的表达式。
我们可以编写不遵循这些规则的连分数，但这些规则使我们有可能证明更有意义的定理。（难道这不是我们所有人在生活中都想要的吗？）
当我们遵循这些规则时，每个数字的连分数表示几乎是唯一的。每个有理数实际上都有两个连分数表示，但这只是一个愚蠢的原因。
另一方面，每个无理数都有完全唯一的连分数表示形式。
连分数很酷，因为在可量化的方式中，它们是数字的最佳近似值。使用十进制，我们始终可以将任何有理数或无理数近似到我们想要的任何精度，因此谈论数字的“最佳”近似值听起来有点奇怪。但是，在这种上下文中，“最佳”是指分母小于或等于给定数字的最佳近似值。如果您截断数字 q 的连分数展开式，那么您得到的有理数是在不必使用更大的分母的情况下最接近 q 的数。举一个具体的例子，考虑数字 0.76。它可以近似到最接近的四分之一，即 3/4=0.75，或最接近的五分之一，即 4/5=0.8。近似到最接近的四分之一时误差较小，因此 4/5 不是最佳近似值。
在这个最佳近似值的框架内，存在更好和更差的最佳近似值。这变得非常元，但总体思路是，对于某些数字，连分数的每个连续级别的误差都比其他数字的误差更差。从这个意义上说，最差的数字是黄金比例，也称为 φ 或 (1+√5)⁄2。
换句话说，φ 的最佳可能近似值与最差的近似值一样差。
有些人使用术语“难以逼近”来描述像 φ 这样的数字。较少人使用术语“易于逼近”来描述其他连分数，但我喜欢它。我们不应该将某些数字标记为“差”，而不向它们展示如何“好”。否则它们怎么学习？
φ（最难逼近的数字）的连分数只是由一堆 1 组成，这并非巧合。事实证明，您只需查看连分数中的分母，即可确定数字是难以逼近还是易于逼近。一般来说，分母越大，近似值越好，分母越小，近似值越差。如果数字 q 的连分数表示的分母都受某个数字的限制，那么 q 是难以逼近的。但如果分母变得任意大，则该数字是易于逼近的。例如，数字 e，它在我们计算投资的利息时出现，是易于逼近的。
e 的连分数展开式。不喜欢乐趣（或不必要地浪费空间）的数学家会通过仅写出分母序列来缩写它，因此他们会将 e 表示为 (2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10…)。这有点枯燥，但比我写的方式更节省空间。
请注意，分母不必在每一步都增长，但确实需要存在分母的一个子集无限增长。对于 e 的情况，存在一个子序列，即 2、4、6、8 等等。
连分数还有一些其他很酷的属性，但在某些方面仍然很神秘。整数（不是完全平方数）的平方根的连分数展开式总是重复的。请注意，这意味着平方根都是难以逼近的：如果它们重复，它们的项就不会越来越大。
但是，对于其他一些很容易描述的数字（例如 2 的立方根和 π）的连分数表示形式知之甚少。它们是难以逼近还是易于逼近？除了平方根之外，还有哪些其他类别的数字是难以逼近的？这些问题很容易提出，但实际上很难回答。我为本文使用的参考资料，Aleksandr Khinchin 的一本优秀的著作的 1964 年版，提到了许多这些未解决的问题，而 50 年后，其中大多数问题仍然没有答案。
那么，这一切与浪漫有什么关系呢？嗯，正如我的潜意识所清楚地表明的那样，完全自然地想象，您对伴侣的爱（或对您暗恋对象的迷恋）是表示您关系的连分数中的分母。夏日恋情可能是一个分母相对较小的有理数，而断断续续的浪漫可能是一个平方根。如果你的关系是黄金比例，那么可能是时候结束一切了。但如果一切进展顺利，那么也许您是幸运儿之一，拥有一个易于逼近的无理数。
致我的丈夫的悄悄话：我对你的爱就像一个非常易于逼近的无理数的连分数表示形式的分母：无限增长，无需子序列。