本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
如果有人播放频率为 440 赫兹的正弦波，您很可能会感觉到 A 音。（事实上，440 可能是最著名的音乐频率。它是大多数现代管弦乐队和乐器的调音标准。）然而，这个 A 音听起来不会像管弦乐队中任何乐器演奏的 A 音。长笛可能最接近于产生纯正弦波，但即使是它的声音也复杂得多。如果谐波分析仪以乐器或人声的声音作为输入，它会将输入分解为许多不同频率的正弦波，通常都是一个最低频率的整数倍。这个过程反过来也适用：通过添加各种频率的正弦波，计算机和电子键盘可以创建对这些乐器声音的像样的模仿。但是，如果您开始稍微玩弄正弦波，您会听到一些惊喜。频率不是命运。例如，如果您单独播放一个频率为 440 赫兹的正弦波，然后在几秒钟后播放一个频率为 660 赫兹的正弦波，您会听到两个不同的音高，一个比另一个高纯五度。（纯五度是七个半音，是 A 和其上方 E 之间的音程。）如果您同时播放频率为 440 和 660 的正弦波，您不会听到纯五度。相反，您会听到比 A440 低八度的音高。我们以对数方式感知音高，而八度音程对应于 2 : 1 的频率比。因此，您将感知到与频率为 220 赫兹的正弦波相同的音高。即使您知道实际上没有任何东西在播放频率为 220 赫兹的音高，您听到的仍然是那个音高。频率 440 和 660 的组合创造了一个感知的 220 音高。音高是一种感知，而不是声波的客观、可测量的方面，这一事实是尝试使用数学来描述音乐的挑战之一。
加雷思·E·罗伯茨的教科书 《从音乐到数学：探索联系》 在讨论音高和频率时，很好地将客观与主观区分开来。我的例子中，对于听觉错觉，有时称为缺失基频，有一个数学解释：感知的音高是存在的正弦波频率的最大公约数。[在此博客上阅读更多关于缺失基频的信息 此处 和 此处。] 然而，真正的解释属于认知科学，而不是数学。我们的大脑具有模式识别能力，经常需要根据不完整的信息做出快速判断，它会注意到 440 和 660 是乐器或人声在产生基频为 220 的音符时预期的频率之一。大脑假设它只是错过了拾取频率为 220 的正弦波，并填补了空白，在没有 220 的地方感知到 220。在实际层面上，电话利用了这种效应，电话不会拾取低至大多数人说话声音的频率，但仍然设法传输听起来正常的消息。这种效应也存在于一些管风琴中，这些管风琴没有足够的空间来制作足够大的管道来发出最低的音符，而是巧妙地用精确校准的较小管道来欺骗听众。罗伯茨并没有过度推销数学作为缺失基频的解释，而是展示了如何将数学用作根据产生的音高频谱来预测感知音高的工具。
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罗伯茨是圣十字学院的数学教授，他为一门数学与音乐的本科课程编写了这本书。与该领域的一些教科书不同，例如大卫·J·本森的优秀但具有挑战性的 《音乐：数学的奉献》，阅读本文和理解练习所需的数学知识通常非常基础。在少数需要微积分的情况下，罗伯茨会注明，并且计算通常会得到清晰而透彻的解释。 权衡之处在于，一些解释是黑匣子。我们必须相信他对产生用于计算音高各个方面的有用公式的 ODE 和 PDE 解的说法。 这本书甚至适用于一些学生需要复习分数的课程。 在后面的章节中，特别是关于音乐对称性和变奏钟声的第 5 章和第 6 章，罗伯茨介绍了一些抽象群论。 然而，解释的节奏是这样的，没有深厚数学背景的学生应该能够掌握它。
正如罗伯茨在他的导言中写道，当我们假设非数学或科学专业的学生没有能力或对学习高等数学主题不感兴趣时，我们就犯了错误。当前高中数学课程的问题之一是数学课程通常被呈现为通往微积分的直线方式。 在那个水平的数学课上表现不佳的大多数学生，永远没有机会学习其他可能对他们来说更自然或更有趣的数学主题。 罗伯茨说，在他的数学和音乐课程中，那些不认为自己有数学天赋的学生挖掘出了他们在该领域隐藏的才能和兴趣。 他写道，
例如，一些学生对学习群论反应非常好。 在中学，他们在极限、代数和预备微积分中苦苦挣扎，但是完成正方形对称性的群表，并看到它与四个钟上的 extent [变奏钟声中的一个术语，指敲响所有可能的钟的排列顺序] 的联系，激发了对抽象代数的新兴趣。
他说，甚至有些学生在学习这门课后转为数学专业。
这本书也没有假设学生在上课前精通乐谱。 第 2 章包含阅读乐谱的基础知识；在后面的章节中，理解这种乐谱很重要。 随附的网站 1 包含一些聆听示例和资源的链接，但如果能有更多这样的示例来支持初学乐谱的学生，那就太好了。 没有哪本书能满足所有学生的需求，罗伯茨似乎为本课程的音乐和数学都创建了一个温和的入门。 数学和音乐背景都很强的学生可能会觉得这本书太容易了，但是讲师可以修改课程的节奏和涵盖的内容，以提供适当的挑战，或者只是决定让这样的学生最好通过使用不同教材的阅读课程来获得更好的服务。
前四章涵盖了人们在关于音乐和数学的书籍中期望看到的标准材料。第 1 章是关于节奏，第 2 章是关于乐谱和理论的基础知识：阅读五线谱、命名音程和理解调号。第 3 章讨论了音高感知和频率，第 4 章是关于调音和律制。没有一种完美的方式来组织一本关于数学和音乐的书。从严格的逻辑角度来看，罗伯茨的组织方式似乎是倒退的：第 2 章依赖于八度的假设，即一个频率及其两倍频率之间的音高跨度，被分成十二个相等的半音，就像现代钢琴一样，第 3 章解释了为什么八度会是一个特别重要的音程，第 4 章证明了使用十二音体系的合理性，并解释了我们是如何达到平均律的。罗伯茨选择的组织方式具有让学生，特别是那些有音乐背景的学生，从熟悉的领域，钢琴开始的优势，并且可能避免一些困惑。一个演奏过乐器或在合唱团中唱歌的人会对他们理解的乐谱感到宾至如归，而一个没有太多音乐经验的人可能至少见过钢琴键盘。他们甚至可以访问真实的或虚拟的键盘，在那里他们可以感受到音程和其他音乐基础知识，因为它们在文本中被介绍。从音高和音程感知开始，然后再转向律制，可能会产生从人们脚下抽出地毯的效果。十二个半音在一个八度音程中实际上是西方音乐中的一个公理，并且在一开始就必须证明其合理性可能会令人困惑。
接下来的四章感觉更像是案例研究的集合。 由于每个主题在很大程度上都是独立的，因此讲师将有充足的机会挑选最适合他们特定课程的部分。 第 5 章关于音乐对称性，探讨了巴赫赋格曲和更具字面对称性的现代作曲家（如巴托克和欣德米特）的音乐。 巴赫是基本的数学和音乐课程中涵盖的材料的规范，但特别是关于巴托克的部分，有趣地探讨了巴托克对黄金分割的著名运用是否真的像有时说的那样明确。 本章还包含对群论的温和介绍。
第 6 章关于变奏钟声，更深入地探讨了群论。 变奏钟声是一种不寻常的音乐实践，起源于 17 世纪的英格兰。 它发生在钟楼里，钟楼里的大钟被安装成可以全圆摆动。 一个人站在每个钟下，拿着一根绳子，然后按顺序敲响钟。 经验丰富的变奏钟声敲击者学会仔细控制钟的敲击时间，因此钟可以在序列中改变位置。 变奏钟声不是关于艺术或情感表达。 相反，旋律基本上是组合的。 敲击者将从演奏下行音阶开始，在随后的回合中，相邻的钟将交换位置。 在一些规则的指导下，变奏钟声敲击者创建诸如“extents”之类的变化集，这些变化集仅使用允许的变化来执行钟的所有排列。 我辉煌的变奏钟声敲击生涯在研究生院开始时持续了大约三个星期，但在那短暂的时间里，我震惊地发现我们实际上是在执行置换群。 变奏钟声通常被认为是与数学有非常直接的相似之处的音乐形式，我发现罗伯茨的解释透彻而清晰。
第 7 章是关于十二音音乐，这是另一个在数学和音乐交叉点上获得相当多关注的主题。 罗伯茨的论述再次比许多论述更透彻和从容。 最后一章关于用数学创作的现代音乐，有三个关于以某种方式在音乐中使用数学的现代作曲家的案例研究。
在整本书中，与关于音乐和数学的其他教科书形成对比的是，罗伯茨经常使用音乐作为引入数学主题的动机，并绕道进入数学本身。 在关于节奏的章节中，他使用附点节奏作为动机，冒险进入无穷几何级数。 频率比导致绕道证明 √2 是无理数。 尽管我在数学、音乐及其交叉领域有很多经验，但我自己也学到了一些东西。 我不太了解印度古典音乐是如何在公元十二世纪导致海马钱德拉-斐波那契数列 1、1、2、3、5、8,... 的发现，或者彼得·马克斯韦尔·戴维斯在他的某些音乐中使用幻方。
在导言中，罗伯茨就如何将本文用于为期一年或一个学期的数学和音乐课程提出了一些建议。 我没有教过这样的课程，但看起来本文似乎适合新生研讨会或文科数学课程，学生在数学和音乐背景方面是多样化的。 本文有大量的已解决示例、练习和两个有趣的讲师项目可供选择。 最后一章的项目特别引人入胜：创作受数学影响的音乐。 我只遗憾没有机会听到他的学生创作的任何作品！