证明一位传奇数学家的错误

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

上个月，我得知印度数学家Sharadchandra Shankar Shrikhande去世，享年102岁。这个名字听起来很耳熟，因为不久前我了解了“格雷科-拉丁方阵”，这是他最著名的数学构造。

要理解Shrikhande的工作，我们必须追溯到几个世纪前，传奇瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783），他在去世前不久写到了这个问题。（这是他关于此论文的英文翻译。）拉丁方阵是一个n×n数组中n个符号的排列，使得每个符号在每行每列中出现一次。（数独是9×9的拉丁方阵，但也满足额外的要求。）顺便提一下，尽管名称是欧洲的，但在欧拉发现拉丁方阵之前，就已经有人研究过它们，包括韩国数学家崔锡鼎，他比欧拉早出生约70年。

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作为一点澄清，虽然欧拉的论文被称为“关于一种新型幻方的研究”，但今天大多数数学爱好者不会称它们为幻方。一个n×n阶的幻方使用1到n²之间的每个数字恰好一次，而拉丁方阵仅使用1到n之间的数字，但每个数字使用n次。

格雷科-拉丁方阵是一个n×n数组中两组n个符号的排列，使得每组符号形成一个拉丁方阵，并且没有一对符号出现两次。这个名称可以使其更容易想象：第一组符号可以是拉丁字母表的前n个字母，第二组可以是希腊字母表的前n个字母。每个可能的拉丁字母和一个希腊字母的组合必须在格雷科-拉丁方阵中恰好出现一次。数字n是格雷科-拉丁方阵的阶数。

欧拉的研究使他得出结论，格雷科-拉丁方阵存在于奇数阶和4的倍数阶。不存在2阶格雷科-拉丁方阵（您可以自己检查），欧拉试图构造一个6阶的，但没有成功，这使他推测不存在4n+2阶的格雷科-拉丁方阵。关于不存在6阶这种方阵的严格证明花了一些时间。（丹麦数学家托马斯·克劳森声称他在1842年的一封信中证明了这一点，但该证明已遗失。 加斯顿·塔里在1901年给出的证明是最早仍然存在的。）

研究人员开发了基于较小阶方阵构造某些阶格雷科-拉丁方阵的方法。例如，一个4阶格雷科-拉丁方阵和一个3阶格雷科-拉丁方阵可以组合形成一个12阶格雷科-拉丁方阵。但他们的技术不适用于恰好有一个因子为2的阶数，如2、6和10，因此他们没有解决形式为4n+2的较大数字的问题。

最后，在1959年，Shrikhande、Raj Chandra Bose和Ernest Tilden Parker破解了这个密码，发表了几篇论文，完全解决了这个猜想，不仅证明了10、14、18等阶的格雷科-拉丁方阵存在，而且还构造了某些维度的格雷科-拉丁方阵。他们赢得了“欧拉的破坏者”的绰号。（为了使其有效，你需要知道欧拉的发音像“oiler”，而不是“yooler”。）这篇文章顶部的图片是一个彩色的10阶格雷科-拉丁方阵的例子。

格雷科-拉丁方阵主要只是有趣，但它们在设计科学实验中也有一些令人惊讶的实际应用。多米尼克·克莱夫和李·斯坦科斯基撰写的一篇关于格雷科-拉丁方阵的论文指出，格雷科-拉丁方阵（以及更高阶的类似方阵，在数组中每个方框中不仅有两个，而且有三个或更多符号）可用于设置实验，在这些实验中，许多不同的测试对象需要比较他们在几个不同测试中的表现。查看克莱夫和斯坦科斯基的文章，了解更多关于从欧拉到猜想“破坏”后几十年问题历史的信息。要了解更多关于Shrikhande本人的信息，请阅读Nithyanand Rao的这篇文章，该文章是在Shrikhande 100岁生日之际撰写的。