本文发表于《大众科学》的前博客网络，仅反映作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
现在你有机会证明一些定理，即使你不知道它们是什么意思！克里斯·斯塔克是费尔菲尔德大学的一位数学家，他创建了游戏友好的邻居，以获得数字拓扑学领域中问题的众包解决方案。无论这对你来说意味着什么，你或许都能帮助斯塔克和他的同事证明一些定理。
游戏玩法很简单：拖动点，看看你是否可以做到没有任何红线，但至少有一个空格是空的。游戏的一些关卡已被解决，而另一些则尚未解决。如果游戏窗口的右下角有一个烧杯，那么你正在玩一个实验性关卡，它可能没有解决方案。如果你解决了它，你就成功地证明了一个关于数字同伦的新定理！
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如果你想在不阅读任何数学知识的情况下玩游戏，请不要让我阻止你。但如果你对游戏背后的数学原理感兴趣，请继续阅读。
数字拓扑学是经典拓扑学的一个变体，它研究具有有限数量点的空间。值得问一下，我们为什么可能希望能够在有限空间上进行拓扑学研究。数字这个词暗示了答案：动机来自计算机图形和数字图像。我们在计算机上看到的每个图像都是由有限数量的像素组成的，如果能够仅使用关于那些彼此相邻的像素颜色的信息来说明两个图像在某种程度上是相关的，那就太好了。例如，我们能否仅使用关于哪些像素颜色彼此相邻的信息来区分“B”和“D”，无论它们的方向如何？这是一个数字拓扑学问题。没错，潜在的未来应用之一是使 CAPTCHA——网站用来确定用户是否是人类的那些扭曲的单词图像——对计算机来说更容易，因此对我们来说更难，在一场摇摆不定、模糊不清的军备竞赛中。
经典拓扑学是研究形状的属性的学科，这些属性在您拉伸或弯曲它们时保持不变，只要您不撕裂它们即可。经典拓扑学对于理解具有无限数量点的空间（例如平面或球体）最有帮助——它不是研究仅具有有限数量点的空间的好工具。
经典拓扑学和数字拓扑学之间的关键区别在于连续性的定义。我们习惯于将函数的连续性视为与其图形有关的东西。连续函数的图形不能跳跃或有孔。这个定义取决于能够测量平面中点之间的距离，并且能够使这些距离任意小。这一切都很好，但是当涉及到有限空间时，它对我们的帮助不大，在有限空间中，点之间距离的缩小是有限制的。如果你的空间中只有三个点，那么最多有三个距离，其中一个必须是最小的。如果点之间存在最小（非零）距离，我们正常的连续性概念就不能很好地工作。在数字拓扑学中，连续性不是基于距离（对于那些更喜欢摆脱度量约束的更抽象的拓扑学家来说，它也不是基于开集），而是基于空间中点之间的连接。
数字图像是点的有限集合，以及关于哪些点彼此连接的信息。如果原始图像中连接的每对点都映射到新图像中连接的一对点（或映射到同一点），则两个数字图像之间的映射称为连续的。在经典拓扑学中，同伦的概念是基于能够以连续的方式移动路径，就像在篮球上滑动橡皮筋一样。数字同伦的定义与经典拓扑学中的定义相同，但连续性的定义不同。新定义有一些意想不到的后果，你可以在斯塔克与他的夏季研究项目学生杰森·哈曼、梅格·墨菲和凯西·彼得斯*合写的一篇论文中阅读到。
该游戏所基于的夏季项目是确定哪些数字图像是不可约的，也就是说，哪些数字图像与点数较少的数字图像不同伦。在他们的研究中，他们对七个或更少点的数字图像进行了分类，并发现了两个数字图像同伦的标准。这些标准导致了在线游戏的规则。
他们只对最多七个点的图像进行分类这一事实应该能缓解你与 CAPTCHA 相关的担忧。数字拓扑学不会让你更难发布你关于彩虹蛋糕和/或共产主义的非常重要的意见。随着点数的增加，问题的难度增长得非常快。“友好的邻居”旨在将分类扩展到八点和九点空间。他们能够将八点情况的案例数量减少到 160 个，九点情况的案例数量减少到 3,251 个（如果你知道有 11,117 种可能的八点数字图像和 261,080 种九点数字图像，这会更令人印象深刻）。
从技术上讲，该游戏只能显示数字图像是可约的。要最终证明图像是不可约的，就相当于证明某物不存在，这比通过找到某物来证明某物存在更难。但是，如果许多用户未能解决其中一个关卡，这就有力地证明了图像是不可约的，斯塔克或其他研究人员可以尝试最终证明图像是不可约的。目前，大约有 30 个未解决的八点图像，斯塔克认为它们可能是不可约的。只有几百个九点关卡被解决，所以还有很多事情要做。
当斯塔克第一次想到制作这个游戏时，他不确定它是否会有趣。“对于普通游戏，你对你想要游戏的内容有一些想法，然后你制作游戏，并且你可能会更改规则以使其更容易或更难或更有趣，”他说。“对于这个游戏来说，这实际上是不可能的。我先有了规则，然后不得不围绕它们制作游戏。它有点不得不按照它现在的方式设计，而且它是否会很有趣实际上不由我决定。”
斯塔克受到了图论游戏 planarity.net 的启发。顾名思义，该游戏的目标是重新排列图的图片，直到它明显是平面的，也就是说，直到没有边彼此交叉。Planarity 和“友好的邻居”都出奇地上瘾，所以玩游戏风险自负！
*这句话最初拼错了凯西·彼得斯的名字。对不起，凯西！