本文发表于大众科学的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映大众科学的观点
在我们最近一期的《我最喜欢的定理》节目中，我的联合主持人凯文·克努森和我很高兴与Steven Strogatz交谈，他是康奈尔大学的应用数学家，也是几本畅销数学书的作者。您可以在这里收听该节目，也可以访问kpknudson.com，那里也有文字稿。
斯特罗加茨向我们介绍了柯西积分定理，也称为复分析中的柯西-古尔萨特定理。正如名为单位根的博客的长期读者可能意识到的那样，这里的“复”并不意味着复杂。它指的是复数，即a+bi形式的数字，其中a和b是实数，i被定义为-1的平方根。您可以将复数视为具有一些额外结构的x-y平面。就像实数一样，我们可以对复数进行加、减、乘、除运算。我们可以定义复函数，它以复数作为输入并产生复数作为输出，这也使我们能够做所有我们喜欢对实函数做的事情。
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柯西积分定理是一个与复平面中函数的行为方式相关的很好的定理，我特别喜欢听到斯特罗加茨第一次学习该定理时的个人反应。但我认为我们在节目中谈到的另一件事更有趣：复分析的伟大之处是什么？
复分析基本上是复平面中的微积分。微积分，即连续变化的研究，是我们最喜欢对实函数做的事情之一。分析领域将微积分从单变量函数领域扩展到更复杂的域和多变量函数。天真地，您可能会认为，如果复平面只是一个具有一个额外规则（i2=−1）的二维平面，那么单变量复分析在风格上会类似于双变量实分析。
大多数数学家不这样认为。复分析感觉纯净而完美，而实分析似乎混乱而狂野。实分析充满了“怪异”的对象，例如魏尔斯特拉斯函数，Ben Orlin几个月前谈到过，但在复分析中，一切都运行良好。例如，如果一个函数在复分析的意义上可微一次，那么它是无限可微的。稍微平滑一点意味着函数是无限平滑的。另一方面，实函数可以可微17次，然后在第18次中断。没有任何保证。
我热爱复分析，几乎到了崇敬的地步。但是，当我们交谈时，我开始思考为什么复分析看起来比实分析更完美。这一切都归结于我们允许哪些函数进入门槛。像柯西积分定理这样的定理仅适用于复解析函数，这意味着它们的导数遵循关于它们如何交互的限制性规则。实分析中的等效概念允许更多无序函数。关于复解析函数的定理适用于更窄范围的函数。这就像将碧昂斯的伴舞与曾经在厨房里独自跳舞派对的每个人进行比较。编舞可以对前者做更多的事情，而不是后者。同样，数学家可以用复解析函数证明比实解析函数更强大的定理。
我有点纠结：复分析之所以美丽，是因为它的函数几乎奇迹般地表现良好，还是因为它适用于如此有限的函数集而显得肤浅？我几乎说服自己相信后者，但后来我又回到了复分析和实分析之间差异的根源：i。复分析中强大得令人难以置信的定理都是定义数字i为-1的平方根的结果。复平面中的乘法规则自然而然地从该定义中产生，其余的微积分也随之而来。我想我不得不承认，这条规则的力量能够创造一个完全不同的学科，这对我来说很美。