本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
一切都与华盛顿和那个笑脸徽章有关。图片来源：Flickr 用户 xJason.Rogersx CC BY 2.0
当我去欧洲时，我的口袋很快就会装满零钱。除了语言障碍让我无法快速理解我欠多少钱之外，我还难以应付不熟悉的硬币面额。支付 75 美分的最佳方式是使用一枚 50 美分的硬币、一枚 20 美分的硬币和一枚 5 美分的硬币，而不是三枚 25 美分的硬币。* 但我很难在匆忙中记住这一点。1 欧元和 2 欧元硬币进一步让我感到困惑，因为在 3 欧元的交易中，我会伸手去拿纸币而不是硬币。在回家的机场，我通常会尽量将我积攒的尽可能多的硬币兑换成免税巧克力，但我经常还是带着不少硬币叮当作响地回到家。
在美国，我尽量避免在日常生活中使用硬币。我很少带钱包，而且我的钱包没有零钱袋，所以它们只是在我的口袋里叮当作响。我把非 25 美分的硬币积攒在一个重新利用的咖啡罐里，每隔几年我会数一下它们，然后犒劳自己一个三明治或其他东西。25 美分的硬币会立即转到洗衣基金中。
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在 6 月 9 日发布到预印本网站 arXiv.org 的一篇论文中，瓦尔帕莱索大学的数学家拉拉·普德威尔和蒙特利尔魁北克大学的埃里克·罗兰探讨了人们通常携带多少硬币的问题。他们使用统计技术来确定，美国货币的典型携带者在任何给定时间最有可能携带 10 枚硬币：1 枚 25 美分硬币、1 枚 10 美分硬币、1 枚 5 美分硬币和 7 枚 1 美分硬币。如果像我一样，您把硬币存起来而不是花掉，那么您存钱罐中大约 31.9% 是 25 美分硬币，17% 是 10 美分硬币，8.5% 是 5 美分硬币，42.6% 是 1 美分硬币。
但是，分析中使用的假设和方法比结论本身更有趣。这是一篇非常有趣且易读的论文，所以我鼓励您亲自查看一下。但如果您想要简明扼要的摘要，请继续阅读。
对于任何真实世界行为的数学模型，研究人员都必须决定做出哪些假设。普德威尔和罗兰在论文开头提出了关于硬币日常使用的两个合理假设
“(1) 价格的小数部分在 0 到 99 美分之间均匀分布。
(2) 收银员找零时使用尽可能少的硬币。”
顺便说一句，我对第一个假设感到好奇。我猜，如果人们总是每次购买一件商品，那么他们交易的价格分布就不会是均匀的，因为很多价格都以 .99 或 .49 结尾，而且根据您所在城市的税收运作方式，这可能会使某些价格比其他价格更可能出现。但我认为，对于多件商品的交易，例如去杂货店，价格的小数部分的均匀分布是很可能的。看看某些地点的税率和商品平均价格是否会使价格偏向某些美分金额将很有趣，但这需要外出收集大量数据，而不是建立模型并将其输入计算机。
对于论文中的大多数示例，研究人员还假设使用美国货币面额（1 美分硬币、5 美分硬币、10 美分硬币和 25 美分硬币——不包括 50 美分硬币和 1 美元硬币），但他们的模型可以处理任何一组硬币面额。
普德威尔和罗兰根据硬币处理偏好将世界分为两类：用纸币支付一切并将硬币放在家里的罐子里的人，以及在支付时使用硬币的人。“硬币保管者”的情况相对容易处理。要计算出硬币保管者储藏中不同硬币的比例，您只需统计出每种可能的价格会得到多少硬币。如果价格的美分金额确实均匀分布，这将为您提供大量交易的平均百分比。
“硬币使用者”的情况稍微复杂一些。假设硬币使用者的钱包里始终存放少于 1.00 美元的硬币，普德威尔和罗兰指出，硬币使用者的选择可以建模为马尔可夫链，这意味着钱包中可能存在的硬币组合（称为“钱包状态”）数量有限，并且当使用者购买东西时，会发生明确的过程。对于每笔交易，新的钱包状态仅取决于紧邻之前的钱包状态、在商店支付的金额以及使用者支付方式的算法。
例如，“大手大脚者”尽可能少地多付钱，并且在有多种尽可能少地多付钱的方式时，使用尽可能少的硬币。如果大手大脚者必须支付 27 美分，如果她无法精确找零，她会使用一枚 25 美分硬币和一枚 5 美分硬币而不是三枚 10 美分硬币。尽可能少地多付钱优先于尽可能减少硬币数量：如果她只有一枚 25 美分硬币和三枚 10 美分硬币，她会花掉三枚 10 美分硬币而不是一枚 25 美分硬币和一枚 10 美分硬币。（在这种情况下，尽可能少地多付钱的选择会通过减少她收到的零钱数量来奖励她。）
这是这篇文章中需要了解一点线性代数知识的部分。如果您现在不想考虑线性代数，请跳过本段的其余部分。普德威尔和罗兰用于计算不同“钱包状态”概率的方法涉及创建一个矩阵，该矩阵记录在一笔交易期间从一种钱包状态转移到另一种钱包状态的可能性。此矩阵的特定特征向量告诉您长时间后每种钱包状态的可能性。唯一的难点是，对于真实世界的货币和价格，这些矩阵非常庞大，用一个技术术语来说。在美国货币系统中，加起来不到 1.00 美元的硬币组合有 6,720 种不同的组合，因此在“大手大脚者”的情况下，您最终会得到一个 6720x6720 的矩阵。仅运行创建 6720x6720 矩阵所需的计算就花费了 1 天的 CPU 时间。普德威尔和罗兰使用数值近似法来找到特征向量，而不是精确计算它们。
我最喜欢这篇论文的地方是普德威尔和罗兰讨论的不同示例中所蕴含的思考。他们根据人们实际花费现金的方式分析了几种类型的硬币花费习惯。除了上面描述的“大手大脚者”之外，他们还分析了“无美分”购买者（不要与“身无分文”混淆），他们将 1 美分硬币留在那些“给一分/拿一分”的托盘中，而不是给出或接收它们作为零钱，以及“25 美分硬币囤积者”。用他们的话来说，“25 美分硬币囤积者是大学生和公寓居民使用的一种消费策略，他们把所有的 25 美分硬币都存起来用于洗衣。他们收到的所有 25 美分硬币都会立即投入到他们的洗衣基金中，因此 25 美分硬币囤积者的钱包里只有 10 美分硬币、5 美分硬币和 1 美分硬币。”这就像他们在读懂我的心思！他们还分析了用 18 美分硬币代替 10 美分硬币的虚构货币会发生什么。他们选择这种特殊的虚构货币是因为它是使平均找零硬币数量最少的货币系统。对于每种变化，他们都计算出了使用该系统的人们最可能的硬币组合。
在文章的结尾，普德威尔和罗兰推测了他们的一些假设，并想知道它们与人们的实际行为有多大程度的匹配。他们假设人们希望尽量减少他们花费的硬币数量，但也许最大限度地增加交易中的硬币数量，从而最大限度地减少交易后口袋里的重量更有意义。“当然，最大限度地减少钱包中硬币数量的最佳方法是粗鲁地将所有硬币扔给收银员，让他们找零给你。但是……我们严格来说只对文明的消费模型感兴趣。”他们提出了一些有趣的方法来修改算法，以考虑不同的消费模式。
我决定倒出我的硬币罐，看看我的硬币囤积习惯与模型预测的有多么接近。因为我是硬币保管者和 25 美分硬币囤积者的混合体，所以我只考虑了非 25 美分的硬币。我有 80 枚 10 美分硬币（占我零钱总数的 20.3%）、27 枚 5 美分硬币（6.8%）和 288 枚 1 美分硬币（72.9%）。忽略“硬币保管者”模型中的 25 美分硬币，普德威尔和罗兰预测 25% 的 10 美分硬币、12.5% 的 5 美分硬币和 62.5% 的 1 美分硬币。所以我的数字与预测的数量相差不远。虽然如此典型令人失望，但一个甚至不认识我的数学模型竟然很好地猜测了我硬币储藏中的东西，这有点酷。
您的硬币携带习惯是什么？您是上面讨论的某些硬币类型的混合体，还是您对现金交易使用不同的算法？请在评论中分享。有关普德威尔和罗兰认为您的钱包里有什么的更多详细信息，请查看 arXiv 上的论文。
*此句在发表后已更改，以更正算术错误。