本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点
同一个问题同时出现在一篇数学论文和一篇跑步博客中，这种情况并不常见。但如果说有哪位数学家能做到这一点，那就是戴安娜·戴维斯。戴维斯是西北大学的博士后研究员，一位狂热的跑步爱好者，也是一位富有创意的数学传播者。2012年，她关于双五边形切割序列的精彩视频在“用舞蹈跳出你的博士”比赛中赢得了物理和数学类别的奖项。（我已经看过这段视频好几次了，有时是在我自己的电脑上，有时是在菲尔兹奖章获得者的讲座上看的。）
7月，戴维斯和她的合作者基思·伯恩斯和奥里特·戴维多维奇发表了一篇题为“平均配速和水平弦”的论文，灵感来自另外两位跑步运动员，莫莉·哈德尔和玛丽·凯塔尼。他们写道：
2013年11月16日，莫莉·哈德尔跑了12公里，用时37:49，创造了该距离的世界纪录。人们为这一成绩鼓掌，但有些人指出，玛丽·凯塔尼的半程马拉松世界纪录为65:50，距离为21.1公里，实际上比哈德尔的纪录更快：凯塔尼的平均配速为每公里3:07，而哈德尔的平均配速为每公里3:09。因此，凯塔尼一定跑完了比赛中某个12公里的路段，速度比哈德尔更快——对吗？
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我敢打赌，我不只是唯一一个会欣然引用介值定理并认为这就完事了的数学家。（顺便说一句，这种反应也是数学家如此专注于严谨证明的部分原因。直觉很棒，但它必须有严密的论证作为后盾。）介值定理是微积分中的一个强有力的事实，它指出，如果一个函数是连续的（它不会突然跳跃），那么它必须取最大值和最小值之间的所有可能值。
一个例子很有帮助：简单的抛物线，由函数 y=x2 建模，在 x=0 时的 y 值为 0，在 x=3 时的 y 值为 9。这意味着在 0 到 3 之间的某个位置，y 必须取值 1、2、3、π 以及 0 到 9 之间的任何其他数字。介值定理有一些令人惊讶的含义。例如，在任何给定的时间，地球上都有两个正好相对的点，它们的温度完全相同！
12公里问题感觉就像一个介值问题。我记得在微积分第一学期做过看起来很像这样的问题：如果我正好用一个小时跑完 4 英里（我没有哈德尔和凯塔尼那么快），那么一定有一英里我正好用了 15 分钟。我们怎么知道？把距离分成一英里一段。如果每段都用了 15 分钟，我们就完成了。如果不是，那么其中一段一定低于 15:00，另一段一定高于 15:00。介值定理说，在某一段英里中，也许是从 1.5 英里到 2.5 英里，正好用了 15 分钟。
因此，如果凯塔尼以每公里 3:07 的平均配速跑完比赛（12 公里用时 37:24），那么她一定跑完了某个 12 公里的路段，用时正好是 37:24。令人有些震惊的是，答案是否定的。戴维斯和她的合作者一开始就用一个例子驳斥了这个问题：
假设凯塔尼在前 9.1 公里和后 9.1 公里分别跑了 27:00，中间 2.9 公里跑了 11:50。那么她的比赛总时间仍然是 2×27:00+11:50=65:50，但她每个 12 公里子区间的用时都是 27:00+11:50=38:50，比哈德尔的纪录慢得多。
介值定理哪里出错了？在我使用的例子中，距离，4 英里，正好是我感兴趣的长度的 4 倍。这种关系不适用于 12 公里和半程马拉松。在 21.1 公里处，半程马拉松不是 12 公里的整数倍。如果我们不能将距离分成都是 12 公里的段，我使用的论证就会失效。我很难相信没有办法挽救这个论证，但戴维斯等人的例子表明我不能。
戴维斯说，他们的论文可能是首次将一个名为通用弦定理的陈述应用于跑步。通用弦定理已经以不同的形式研究了大约 200 年，它处理的是 f(0)=f(1)=0 的函数，并研究这些函数的水平弦的长度。（水平弦只是连接图上一个点到另一个高度相同的点的线段。）* 在 30 年代，海因茨·霍普夫弄清楚了如何构造一个具有给定水平弦长度集合的函数，前提是该集合满足一些标准。
伯恩斯、戴维斯和戴维多维奇扩展了之前的工作，简化了定理的证明，并设计了一个更简单的配方来构造具有所需弦长的漂亮、光滑的函数。（有关所有详细信息，请查看他们的论文。）用跑步术语来说，他们解释了跑步者何时必须以正好等于其平均配速的速度跑完一英里（或其他感兴趣的长度），并提出了在可能的情况下避免平均配速的比赛计划。实际跑步比赛则留给读者作为练习。
*这句话在出版后进行了修改，以纠正一个错误。我最初写的是水平弦连接图上的一个点到下一个相同高度的点，但它可以连接到任何相同高度的点。感谢戴安娜·戴维斯指出这个错误。