打结的针头织出编织结

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

让开，无限围巾，你们根本不是无限的。(5,3) 环面纽结颈圈才是潮流。

对我来说，一月份联合数学会议的亮点之一是数学纤维艺术环节。您可以在此处查看我从该环节整理的幻灯片。在会议期间，联合组织者莎拉-玛丽·贝尔卡斯特罗作了关于她美丽的针织环面纽结和链环的演讲。我在幻灯片中加入了一张它们照片，但想在这里的博客上分享更多关于它们的细节。

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在数学中，纽结基本上就是现实世界中的纽结。你取一段绳子，以某种方式打结，然后将自由端连接在一起，使其没有起点或终点。（我在去年的博客文章中写过关于纽结的文章，如果您想更深入地了解它们。）链环是任意数量的纽结放在一起。它们可能只是彼此相邻，或者它们可能以某种有趣的方式缠绕在一起。

环面纽结和链环，贝尔卡斯特罗演讲的主题，可以通过将绳子缠绕在环面或甜甜圈上制成。您可以将环面视为当您沿着另一个圆扫过一个圆时获得的形状，如下图所示。

我们可以将红色圆圈和粉红色圆圈，即穿过孔或围绕孔缠绕的圆圈，分别视为环面上的两个主要“方向”，类似于球体上的纬度和经度。

环面纽结或链环由它在两个主要方向上缠绕多少次来定义。一个 (p,q) 环面链环* 穿过中心（沿着红色圆圈）缠绕 p 次，围绕孔（沿着粉红色圆圈）缠绕 q 次。如果我们对 p 或 q 使用负数而不是正数，则描述是相同的，但纽结或链环在环面上以不同的方向螺旋缠绕。有关环面纽结的更多图示，请查看纽结图谱。

任何两个整数 p 和 q 都可以定义一个环面链环。如果这些数字没有公因数，则链环只有一个部分，因此我们称之为纽结。如果它们确实有公因数，则链环有多个部分，例如这个 (4,2) 环面链环。（部分的数量与 p 和 q 共享的最大公因数相同。）

贝尔卡斯特罗既是数学家又是编织者，她已经擅长结合这两个学科。她使用数学来理解和指导她的编织，并使用编织来可视化复杂的数学对象。几年前，贝尔卡斯特罗开始编织环面，使用对比鲜明的纱线在上面展示环面纽结。

当她继续使用编织来探索数学时，她考虑过去掉环面，只编织纽结本身。当然，一种方法是编织一个细长的矩形，将其打结，然后将两端缝合在一起。但这太容易了！相反，贝尔卡斯特罗想知道她是否可以进行编织，使纽结本质上是由编织创建的，而不是事后添加的。有一天，她将她的环形编织针（这些基本上是两个端点，中间用一根长而柔韧的线连接）打成一个结，最终得到了一个针织的三叶结。

三叶结是除圆圈外最简单的纽结，它也是一个 (3,2) 环面纽结。在成功编织三叶结后，贝尔卡斯特罗想知道她还可以创建哪些其他环面纽结和链环，并最终发现了一种递归算法，用于正确地缠绕针头以编织一些环面纽结。（具体来说，她的程序适用于 (nk+1, k) 环面纽结和 ((n+2)k-1,k) 环面纽结，适用于任何整数 n 和 k。）

为了创建具有多个部分的环面链环，贝尔卡斯特罗首先使用她的算法编织链环中的一个纽结，然后将其用作链环的下一个组件的基础，她也使用她的缠绕算法创建该组件。她不断这样做，直到她拥有所需的组件数量。因为她将针头缠绕在之前的组件周围以编织每个后续的纽结，所以成品具有所有内置的纽结性和链环性；无需在事后连接末端。

贝尔卡斯特罗说，在编织完环面链环后，项目看起来一团糟。但她已经学会相信，当她从针头上取下它并小心地将其展平时，她将最终得到一个漂亮、正确执行的环面链环。她通常仅出于其数学特性而制作纽结，但最近她发现，通过一些小的调整，她的 (5,3) 环面纽结可以制作成一个漂亮的颈圈。可穿戴的数学，胜出！

*环面纽结可以先标记任一方向。维基百科采用“围绕孔”先出现的惯例，但贝尔卡斯特罗采用“穿过孔”先出现的惯例。这篇文章的原始版本在不同的地方使用了这两种惯例。我已经更新了这篇文章以保持一致，使用贝尔卡斯特罗使用的惯例。如果您最终浏览到维基百科页面，请记住它的环面纽结是使用相反的惯例标记的。