本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点
我以前工作过的犹他大学位于盐湖城东侧的山麓。它比该市的大部分地区海拔都要高，所以当然要到那里就必须升高海拔。作为一名骑自行车通勤者，我希望以尽可能最轻松的方式升高海拔。最终，我确实找到了一条我认为对我的腿最轻松的路线，但说实话，它并没有比大多数其他路线轻松多少。要从市中心到大学，你必须以某种方式升高大约500英尺。
我的导师过去常常用“难度守恒”这个短语。如果我放弃一种解决问题的方法，因为它遇到了看似无法逾越的困难，那么一种新的方法很可能会给我带来同等但不同的困难。数学家有时会找到真正的捷径或取得真正的突破，使一切都变得更容易，但更多时候，他们会从各个方面消除困难，直到有所进展。
我和凯文·努德森与吉姆·普罗普讨论了我们播客《我最喜欢的定理》的最新一集（音频和文字稿在此），我们的对话让我想起了难度守恒的想法，尽管在这种情况下难度这个词不太恰当。
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普罗普博士谈到了一个似乎太过明显以至于几乎不能称之为定理的定理：如果一个函数不变，它就是一个常数。干得好，福尔摩斯！但是，他随后剥开了这个陈述的一些层次，表明一个名为实数完备性的公理是证明这个定理的基础，我们称之为常数值定理。
完备性公理指出，数轴上没有缺口。形式化这个想法的一种方法是以下陈述：实数的每个非空子集，如果有一个上界，那么它就有一个最小上界。例如，小于2的平方根的有理数集合有很多上界：17、500、π，这个列表实际上是不可数的。但是√2是最小的那个。
作为一条公理，实数的完备性被认为是正确的，不需要证明，至少当你在标准实数线上进行数学运算时是这样的。（数学家喜欢弄清楚当公理被删除或替换时会发生什么，所以并非所有的数学都将完备性公理视为理所当然。）但它不必如此。我们可以假设常数值定理，并将完备性公理推导为定理。我们可以完全假设其他一些属性，并推导出常数值定理和完备性公理。
我们可以用其他公理做类似的事情：通过假设一个不同的定理作为公理来使公理成为定理。当我写关于平行公设的想法时，我把它想象成一张床单上顽固的皱纹。如果你把它在一个地方抚平，它就会在其他地方冒出来。存在着一种守恒，不完全是难度，而是必须假设而不是证明的公理的某种核心。
普罗普博士写了一篇名为“反向实分析”的文章，更深入地探讨了这个想法，研究了一些等价于完备性公理的定理，以及一些看起来相似但并不等价的定理。想象使用其中任何一个作为公理的优点和缺点很有趣，但这篇文章还深入探讨了这些等价性和非等价性告诉我们关于实数本身的什么。他写道，“本文的主题是，任何不是实数系统的东西都必须在许多方面与实数系统不同。” 探究这些差异的确切含义可以帮助我们理解我们选择进行大量数学运算的特殊领域。欲了解更多详细信息，请查看我们的播客节目，普罗普博士在他可爱的博客《数学魔法》上发表的配套文章，或他的文章。