本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
如果你不知道该做什么，那就做点什么。这是我教数学时（或许也是良好的人生建议）的座右铭之一。去年，我教了入门分析（基本上是保留了精华部分的微积分），这是学生们上的第一批以证明为导向的课程之一。撰写证明很难，有时最难的部分是开始。在你写下假设之后，接下来该怎么办？我的学生应该做些什么？
如果他们没有更好的主意，有时最好的开始方式是反证法。反证法是数学中主要的证明技巧之一。为了证明“A 蕴含 B”这个陈述，反证法假设 A 和“非 B”都为真，然后证明这是不可能的。
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例如，你如何证明存在无限多个素数？一种常用的起始方法（通常归功于欧几里得）是假设你有一个包含所有素数的有限列表，然后进行推导直到得到矛盾。具体来说，你将列表中的所有素数相乘，加 1，并证明结果数不能被列表中的任何素数整除。这意味着你的列表不完整，所以一定有无限多个素数。
另一个常用的反证法例子是康托尔的对角论证，它表明实数集比自然数集“更大”。观看 Vi Hart 的关于无穷大不同大小的视频，以获得关于对角论证的良好解释。
有趣的是，素数无限性的证明和对角论证都不是真正的反证法。（对于欧几里得证明是反证法的广泛神话的有趣分析，请参阅令人失望的付费文章 素数的简洁性，作者是迈克尔·哈迪和凯瑟琳·伍德戈尔德。）对于素数的情况，该证明在任何旧的有限素数列表上都完全有效。你不需要假设列表是完整的才能进行论证。同样，在对角论证的情况下，证明表明从自然数到实数的任何函数都无法覆盖所有实数。我们不必首先假设存在一个可以覆盖所有实数的函数。这种差异是微妙的，并且在你的脑海中思考起来很有趣。
如果我事先不知道如何证明存在无限多个素数，或者自然数的基数小于实数的基数，我会首先尝试反证法。即使反证法对于这两种论证都不是必要的，但我仍然很难看出如何在不从反证法开始的情况下找到这些证明。
我经常鼓励我的学生，如果他们在证明中遇到困难，就尝试反证法。我认为这有助于激发思路。为什么呢？我不太确定，但也许它给了我们一些具体的东西可以抓住。当我们第一次接触一个新的数学概念时，它可能看起来非常抽象。但是通过尝试反证法，我们在某种意义上找到了一个有形的“反派”来对抗。当然，反证法并不总是能帮助我们找到证明，但最好是做点什么，写下一些想法并逐渐理清它们，直到你触及论证的核心，而不是坐在那里无所事事，因为你不知道从哪里开始。