本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点。
数学是完美的领域。（或者我们数学家喜欢这样告诉自己。）证明是纯粹逻辑的丰碑，而且因为我们证明的对象是只存在于我们头脑中的抽象概念，它们完美地遵守逻辑规则。
完美会令人陶醉。我们将 π 计算到数万亿位，尽管事实上几十位就足以计算已知宇宙中任何长度，误差在原子宽度之内。“足够好”永远不够好。
当数学应用于现实世界时，会发生一件有趣的事情：它奏效了。诚然，它并不完全完美——现实世界不像我们头脑中那些纯粹的数学对象那样循规蹈矩，但已经相当不错了。牛顿的万有引力定律在数学上非常简单，但与现实世界惊人地吻合，至少在人类尺度上是这样。爱因斯坦的广义相对论建立在数学的支架之上，这些数学原本是为了分析抽象空间而存在的，但结果却对描述大规模空间和时间非常有用。现实世界似乎非常出色地逼近了抽象数学。物理学家和数学家尤金·维格纳在一场著名的讲座中描述了这种现象，随后以论文形式发表，称之为“数学在自然科学中不合理的有效性”。
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在《Nautilus》杂志的一篇文章中，我写到了这种现象的哈哈镜式镜像：数学上的“差之毫厘”。我受到滑铁卢大学计算机科学家克雷格·卡普兰和他于 2016 年 2 月撰写的关于“差之毫厘”约翰逊固体的文章的启发，开始撰写关于“差之毫厘”的文章。他用纸板和胶带制作的图形看起来很完美，但却找不到等边三角形或正十边形或正十二边形。他的文章启发我（和其他人）在数学中寻找更多“差之毫厘”的例子：从文艺复兴时期的“差之毫厘”多边形到音乐中的平均律，再到色彩鲜艳的数学理论，称为“怪兽月光”。撰写这篇文章很有挑战性，因为没有客观标准来定义什么是“差之毫厘”。有时我觉得自己像是在试图抓住一把沙子。最后，我对数学上的“差之毫厘”有了这样的理解。
“差之毫厘”存在于理想主义、不屈不挠的数学与我们放纵、务实的感官之间的模糊边界中。它们颠倒了近似的逻辑。通常，现实世界是柏拉图领域的 imperfect 阴影。潜在数学的完美性在可实现的条件下丧失了。但是对于“差之毫厘”而言，现实世界是不完美领域的完美阴影。卡普兰说，近似是“对正确答案的不正确估计”，而“差之毫厘是对几乎正确的答案的精确表示”。
在《Nautilus》上阅读完整文章。