本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
“因此，这篇论文本身只有二十四页——思想史上最非凡的二十四页！”“鲍耶·亚诺什和罗巴切夫斯基则截然不同，他们立刻毫不犹豫地声称，他们的发现标志着人类思想史上的一个划时代时刻，其意义之重大，以至于哲学史或科学史中记载的任何事物都无法超越，这证明了纯粹理性至高无上，这在以前从未被证明过，正值它推翻了似乎永远是其最可靠的财产——几何学的公理。”
——乔治·布鲁斯·哈尔斯特德，论亚诺什·鲍耶关于非欧几何的论文，《绝对空间科学》。
上周，我为本科生做了一个关于双曲几何的讲座，双曲几何是我在数学中最喜欢的课题之一。 在 Twitter 上，我开玩笑说要进行一场关于几何学的双曲式演讲，而不是关于双曲几何的演讲。
关于双曲几何的演讲不同于关于几何学的双曲式谈论：“天哪，几何学太酷了，它将治愈癌症！”— 伊芙琳·兰姆 (@evelynjlamb) 2014年2月5日
关于支持科学新闻
如果您喜欢这篇文章，请考虑通过以下方式支持我们屡获殊荣的新闻报道 订阅。 通过购买订阅，您正在帮助确保关于塑造我们今天世界的发现和想法的有影响力的故事的未来。
但我的玩笑并非牵强附会。 在为我的演讲做准备时，我遇到了一些早期双曲几何史中的双曲妙语。 最早的两个，在本帖子的顶部，来自对亚诺什·鲍耶关于非欧几何的论文的冗长而华丽的译者介绍。 我在罗伯托·博诺拉的教科书《非欧几何》中找到了它，该书可在此处免费获取 here。 鲍耶和尼古拉·罗巴切夫斯基（是的，那个 尼古拉·罗巴切夫斯基）是最早发表非欧几何著作的两位数学家。
首先，关于非欧几何和双曲几何的一些基础知识。 欧几里得的《几何原本》，历史上最持久的教科书之一，是对几何学的首次系统性处理。 欧几里得从 23 个定义、5 个公理和 5 个公设开始，并从中推导出各种定理。 第五个公设，也称为平行公设，与其他定义和公设感觉非常不同。 陈述它的方法之一是，如果您有一条直线 L 和一个不在 L 上的点 P，则恰好存在一条穿过点 P 且平行于（不与 L 相交）L 的直线。
其他公设和公理，例如“任意两点都可以用直线段连接”之类的陈述，似乎更加不言而喻。 平行公设一直让一些数学家感到不安，他们认为一定有一种方法可以从其他公理和公设中推导出它。 在 2000 年里，他们尝试了。 非欧几何的故事是数学家们发现，你可以发明与欧几里得几何学的其余部分一致，但不遵循平行公设的几何学的故事。 有两种违反平行公设的方法：要么不存在穿过 P 且不与 L 相交的直线，要么存在多条穿过 P 且不与 L 相交的直线。 前一种情况称为椭圆几何，后一种情况称为双曲几何。 非欧几何是这两种情况的统称。
鲍耶的父亲法尔卡什（有时被称为沃尔夫冈）也是一位数学家。 事实上，他曾试图证明平行公设，并写信给他的儿子，
“令人难以置信的是，这种顽固的黑暗、这种永恒的日蚀、几何学中的这个缺陷、真理上的这片永恒的乌云竟然可以被容忍。”
但法尔卡什不希望他的儿子走上他走过的同一条路。
“你一定不要尝试这种平行线的方法。 我知道这条路的尽头。 我已经走过了这片无底的黑夜，它熄灭了我生命中所有的光明和喜悦。 我恳求你，抛开平行线的科学吧……我曾想为真理牺牲自己。 我准备成为一名殉道者，从几何学中去除缺陷，并将其净化后归还给人类。 我完成了巨大的、巨大的劳动； 我的创造比别人的要好得多，但我还没有获得完全的满足。 因为这里确实如此 si paullum a summo discessit, vergit ad imum [如果哪怕只是稍微偏离了最高点，也会跌入谷底]。 当我看到没有人能够到达这片黑夜的底部时，我退缩了。 我不甘心地退缩了，可怜我自己和全人类。”“我承认我对你的线的偏差期望不高。 在我看来，我曾经去过这些地区； 我已经驶过了这片地狱般的死海的所有暗礁，总是带着断桅和破帆回来。 我的性格的毁灭和我的堕落可以追溯到这个时候。 我轻率地拿我的生命和幸福冒险——aut Caesar aut nihil [要么凯撒，要么一无所有]。”
“看在上帝的份上，我恳求你，放弃它吧。 不要害怕它，就像害怕感官的激情一样，因为它也可能会占据你所有的时间，并剥夺你的健康、心境平和和生活中的幸福。”
幸运的是，亚诺什没有听从他父亲的劝告
“我决心尽快整理好、完成并在机会出现时发表关于平行线的著作。 我还没有做出发现，但我所遵循的道路几乎肯定会引导我达到我的目标，前提是这个目标是可能的。 我还没有得到它，但我发现了一些非常了不起的东西，以至于我感到震惊。 如果这些东西丢失了，那将是永远的遗憾，当我亲爱的父亲你看到它们时，你一定会承认这一点。 我现在只能说，我凭空创造了一个新的不同的世界。 我至今寄给你的所有东西都像一座纸牌屋，与一座高塔相比简直不值一提。”
随着亚诺什的成功在望，法尔卡什改变了他的论调，并敦促他发表。 正如亚诺什回忆说
“他建议我，如果我真的成功了，我应该迅速公开宣布，原因有二。 一个原因是这个想法很容易传给其他人，然后由他们发表。 另一个原因——也是一个似乎足够充分的理由——是，当某些事物的时机成熟时，这些事物会以紫罗兰在早春时节出现的方式出现在不同的地方。 而且，由于科学的奋斗就像一场战争，人们不知道它何时会被和平所取代，因此如果可能的话，就必须获胜； 因为在这里，卓越归于第一个人。”
我在赫伯特·梅什科夫斯基的教科书《非欧几何》中找到了博利亚父子之间的大部分往来，该书以这段有点夸张的段落开头
“非欧几何的发现者有点像圣经中的扫罗王。 扫罗在寻找一些驴子，却发现了一个王国。 数学家们只是想在老欧几里得身上挑个毛病，并表明他认为不能从其他公设中推导出来的一个公设实际上是可以推导出来的。 在这方面，他们失败了。 但他们发现了一个新的世界，一种几何学，在这种几何学中，有无数条直线平行于给定的直线并穿过给定的点； 在这种几何学中，三角形的内角和小于两个直角； 然而，它仍然没有矛盾。”
这些引言对于几何学来说似乎都有些戏剧化，但不了解非欧几何的发现是多么具有革命性是很容易的。 哈尔斯特德将鲍耶的论文描述为“思想史上最非凡的二十四页”，这当然听起来很夸张，但你能找到其他 24 页可以与之媲美的吗？ 这不是一个反问。 我很好奇还有什么可以入围。 我一时想不起来，但我太喜欢双曲几何了，以至于不能指望我对它保持客观！