本文发表于《大众科学》的前博客网络，仅反映作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点。
朋友们，请戴好你们的帽子，因为我发现了一个秘密的数学节日，用来纪念本月的最后一天。今年的2月28日恰好是西方基督教历法中四旬斋开始的前一天，也是数学家皮埃尔·法图 (1878-1929) 诞辰139周年。由于数学史、天文学、教会日历和英语的这种吉祥汇合，今年的圣灰星期三前日就是法图日！假设梵蒂冈和其他教会权威机构不改变复活节及相关节日的计算方式，这种巧合在本世纪2100年之前只会再发生一次：在2090年。（它也发生在2006年，但我那时还没开始写博客，所以你们怎么会知道呢？）你们肯定想好好庆祝一下。
数学家皮埃尔·法图的肖像。图片来源：Collection familial Wikimedia
我相信我第一次接触法图是在分析学（可以理解为：高级微积分）课上，当时我学到了法图引理。这个有用的微积分结果属于我称之为交换律陈述的范畴。（交换律是关于你是否可以以不同的顺序做事情并得到相同的答案。在数学中，就像生活中一样，人们不能总是互换操作并期望得到好的结果。问问任何一个睡眼惺忪地试图在换掉睡衣穿上真正的裤子之前穿鞋子的人。如果生活是可交换的，那就能行得通！）法图引理是关于极限的积分与积分的极限之间的关系。具体来说，它指出，如果满足正确的条件，那么函数序列的下极限的积分小于或等于函数序列的积分的下极限。（要获得更严格的定义，请查看维基百科或Math3ma。）
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法图还因其对复动力学的贡献而闻名。基本上，他试图弄清楚如果你将一个复数代入一个函数，然后将输出代入同一个函数，不断重复会发生什么。几年前我在一篇关于分形小猫的文章和上个月一篇关于曼德勃罗集的文章中更详细地介绍了这个想法。基本上，有时点会保持在离起点相对较近的位置，有时它们会疯狂地螺旋到复平面的远处。有没有办法弄清楚哪些点会做什么？对复动力学的研究最终导致了法图集和朱利亚集的定义。（朱利亚集是以法国数学家加斯顿·朱利亚的名字命名的，他与法图在同一时期研究复动力学，尽管他们是独立工作的。）多项式的朱利亚集由在其附近具有混沌行为的点组成。也就是说，它们附近的一些点在迭代下会滚落到无穷远，而另一些点则会保持接近。法图集是朱利亚集的补集：所有被表现得像它们一样的邻居包围的点。它们要么都飘走，要么都待在家里。
朱利亚集和法图集通常是美丽的分形，正如你在精美的在线书籍朱利亚集和曼德勃罗集图片集中所看到的那样。此外，它们还提供了一种最明显的将法图日与圣灰星期三前日联系起来的方式：分形煎饼。内森·希尔兹的Saipancakes是#煎饼目标，他在本文顶部提供了一些灵感。如果你没有他的煎饼技巧，别担心。并非所有的朱利亚集和法图集都像曼德勃罗集那样上镜。在家复制一个类似于多项式 f(z)=(z+z2)/2 的法图集组件的煎饼可能会更容易。
这个图形的内部，函数 f(z)=(z+z2)/2 的朱利亚集，可以制作成美味的法图日煎饼。图片来源：Wabeki Wikimedia (GFDL 1.2) (CC BY-SA 3.0)
米歇尔·奥丁的书籍《法图、朱利亚、蒙泰尔：1918年数学科学大奖及其他》解释了法图和朱利亚在复动力学方面工作的来龙去脉，将其置于背景之中，并解决了优先权问题。它还包含一个关于法图的传记章节，其中提到他是一位音乐爱好者，并且至少根据家族传说，他养了一只鹦鹉。如果你想在法图日深入了解法图，我强烈推荐这本书。
对于那些想要朝圣的人来说，法图的出生地和去世地都在法国的布列塔尼：分别是洛里昂和波尔尼谢。他曾在巴黎高等师范学院学习，并在巴黎天文台工作了一生。他曾在蒙帕纳斯大道172号居住多年，就在天文台的拐角处。那里没有他的纪念牌匾，但我根据经验知道，可以参观这个地址，并在你试图在现在的牙科诊所前拍出最好的自拍时，让人们用奇怪的眼神看着你。
法图 曾在此处。图片来源：Evelyn Lamb
遗憾的是，在巴黎近100条以数学家命名的街道中，没有法图街，但在莫城（巴黎东北约25英里处的一个城镇）有一条法图街。莫城市政当局尚未回复我的电子邮件（无疑是用糟糕的法语写的），询问街道名称的由来，所以我不知道它是否是为了纪念这位数学家而命名的。
所以，为了一个完美的法图日， 积分一个函数序列，画一些分形，并吃数学煎饼吧！