如何快速填满一个圆？

本文发表在《大众科学》的前博客网络中，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点

迈克尔·博舍尼茨安，我研究生母校莱斯大学的数学教授，上周去世了。我上过他的一门课，但他对我的生活产生了更大的影响，因为他是我的配偶乔恩·蔡卡的导师。他们有着很棒的师生关系，我知道乔恩特别欣赏迈克尔对有趣数学问题的敏锐眼光和对数学无限的热情。（对我来说，把我的丈夫称为蔡卡而不是乔恩感觉很奇怪。但在一篇文章中，只称呼一个人为名字，而称呼另一个人为姓氏，或者两人都称呼名字，也感觉很奇怪。在没有其他不奇怪的选择的情况下，我将称呼他们为迈克尔和乔恩。）

听到这个悲伤的消息后，我发现自己在浏览 他在 arXiv 上的论文，并决定点击“单位圆中最密集的序列”，这是他和乔恩十年前合著的。这篇论文只有两页长，而且有点意思。

他们论文的标题指的是单位圆，通常定义为半径为 1 的圆，但他们实际使用的单位圆是周长为 1 的圆（因此半径为 1/π）。这种区别其实并不重要——他们可以根据需要将事物乘以 π，以将其工作转移到标准的单位圆——但这一事实可以帮助我们理解他们工作的部分方式。（通常当数学家提到一个圆时，我们指的是一个空心圆，而不是一个填充的圆，我们称之为圆盘。不幸的是，我们经常在这个用法上很草率，说诸如“圆的面积是 πr²”之类的话。圆的面积是 0，因为圆是一维的，而不是二维的。圆的长度是 2πr，而圆盘的面积是 πr²。）

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思考圆的一种方式是将其视为两端粘合在一起的区间，在这种情况下，区间长度为 1。在此区间上进行算术运算涉及思考所涉及数字的“小数部分”。实数的小数部分是当您切掉小数点左侧的所有内容时得到的内容。 1.5 的小数部分是 0.5，π 的小数部分是 .14159…，5 的小数部分是 0。（正如 π 的例子所示，一个数的小数部分不一定是分数。）在论文中，迈克尔和乔恩用 x (mod 1) 表示一个数 x 的小数部分。

处理数字的小数部分可以很容易地看到数轴和圆之间的关系，并理解论文的重要部分：通过对实数轴进行算术运算来回答有关圆上点的问题。仅处理小数部分，我们可以将数轴视为一堆被切碎并堆叠在一起的区间，或者更好的是，将数轴视为无限次地围绕圆缠绕。

迈克尔和乔恩正在寻找用无限的点序列填充圆的最密集的方式。唯一的问题是如何测量一维线上零维点的集合的密度并不明显。事实上，论文的部分工作是找出衡量他们所追求的属性的合理方法。

数轴内集合的传统密度定义是，如果每个小区间都包含集合中的点，则该集合是密集的。有理数是密集的，因为任何区间，无论其长度多小，都包含至少一个有理数。这种密度的概念是二元的：一个集合要么是密集的，要么不是。圆中的许多、许多数字序列（视为实数的小数部分）在这种意义上是密集的。例如，通过将相同的无理数反复加到前一项上（并取答案的小数部分）得到的序列在圆中是密集的。最终，序列的某些项将击中圆中的任何小区间。另一方面，反复添加有理数不是密集的，因为最终你会重复相同的数字。例如，序列 0、1/2、1/2、3/4、0、1/4、1/2、3/4……只击中相同的四个数字。

许多序列在这种意义上是密集的，但是否有一种方法可以量化一个序列填充圆的速度和有效性？这些是迈克尔和乔恩关注的概念。他们提出了两种衡量标准和一个在一定程度上优化这两者的序列。

第一个衡量标准在论文中标记为 D_n，它衡量的是圆的任何点与序列前 n 项中最近的点之间的最远距离。一个例子有所帮助：让我们选择一个简单的序列，其中第 n 项是数字 n/3 (mod 1)。从 0 开始，这个序列是 0、1/3、2/3、0、1/3、2/3 等，只是沿着圆以 1/3 的长度迈步。在 n=3 之后，密度 D_n 稳定下来。点 1/6、1/2 和 5/6 都位于序列的两个点之间的一半，并且它们与最近的点之间的距离为 1/6。圆上的任何其他点都更接近序列点。因此，对于任何大于或等于 3 的 n，D_n 为 1/6。计算比 0、1/3、2/3 更复杂的序列的 D_n 当然会更具挑战性，但主要思想是，此衡量标准跟踪序列在第 n 步对每个 n 未能击中单位区间中每个点的糟糕程度。

他们使用的另一个度量称为 d_n（如果你大声读这篇文章，我建议大声喊 D_n 并低声说 d_n，以帮助你在脑海中理清它们），它跟踪序列中最近的点彼此之间的距离有多近。在 0、1/3、2/3 的情况下，最近的点彼此之间的距离为 1/3，因此该序列的 d_n 为 1/3。这个概念最好被认为是散布而不是密度：具有较大的 d_n 值的序列是每个新项都与前项相距很远的序列。

论文的目标是找到一个在 D_n 和 d_n 方面都表现良好的序列。这意味着 D_n 的值很小——序列正在接近圆中的所有点——并且 d_n 的值很大——序列的每个新项都与所有前项相距很远。

迈克尔和乔恩找到的获胜序列实际上并不难理解。它是 log₂(2k−1) (mod 1)，其中 k=1、2、3 等等。函数 log₂(x) 是 x 的以 2 为底的对数，是必须将 2 提升到的幂才能得到 x；例如，2³=8，所以 log₂(8)=3。插入一些数字，你可以看到论文中的序列是奇数整数的以 2 为底的对数的小数部分的序列。这很拗口，但开始在 在线计算器上插入数字来感受序列的开始并不难。对于较小的 k 值，k 的以 2 为底的对数的小数部分会移动很多。对于较大的 k 值，序列项最终会靠得很近。（尝试为 k 插入一些 5 位或 6 位数字，看看序列从一项到下一项移动的程度有多小。）

在他们的论文中，迈克尔和乔恩证明了奇数的以 2 为底的对数的序列在接近圆中的所有点以及将序列点之间的最小距离保持在尽可能大的范围内都做得很好。特别是，他们表明，竞争序列有时可能会击败他们的序列，但他们的序列将无限次地获胜。事实上，随着 n 的增加，他们的序列在所有竞争对手中变得越来越占优势。

这不是一篇惊天动地的论文，但我决定深入研究它，因为它对我来说是小而易懂的，不像他的一些更深层次的作品。这也符合我对迈克尔作为数学家的看法，当然，我的看法是从远处得出的；我从未和他一起工作过。他喜欢提出和回答那些完全自然但以前没有人想过要问的问题。虽然在这篇博文中建立起来需要一些努力，但这个问题基本前提对于上过入门分析课的数学研究生来说可能很简单。迈克尔还喜欢巧妙、有效的论证。在这篇论文中定义了基本术语之后，两个定理的证明只需要半页左右，不需要大量的数学机制，更多的是关于序列和区间的敏锐观察。数学不必是惊天动地的，也值得思考，我很高兴花了一些时间思考这个问题。