本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
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《如何避免错误》，这是威斯康星大学麦迪逊分校数学教授乔丹·艾伦伯格的第一本面向大众的数学书籍，刚刚上架。除了数学博士学位外，艾伦伯格还拥有创意写作艺术硕士学位，并且多年来一直为大众撰写数学方面的文章。毫不奇怪，这本书诙谐幽默、引人入胜，而且读起来非常有趣。
《如何避免错误》不是一本关于斐波那契数列或 π 的大众数学书籍。它更深入。在导言中，艾伦伯格将数学事实分为四个象限：它们可以是简单而肤浅的，简单而深刻的，复杂而肤浅的，或者复杂而深刻的。这本书主要探讨“简单而深刻”的象限。
艾伦伯格在谈到这个象限中的思想时写道：“它们不是‘仅仅的事实’，例如简单的算术陈述——它们是原则，其应用范围远远超出了你通常认为的数学范畴。它们是工具带上随时可用的工具，如果使用得当，它们将帮助你避免错误。”
本书在五个部分中探讨了这些工具：线性、推断、期望、回归和存在。每个部分都包含关于特定数学技术的章节，这些技术属于该部分更大的范畴。
“存在”是我最喜欢的部分，它探讨了数学在获得“正确”答案方面的局限性。这是我最近一直在思考的事情。我们数学家有时将自己视为隐居的祭司，他们发现并保护原始的普遍真理，但数学的决定性特征之一是我们必须首先制定规则。我们不是发现普遍真理，而是在我们创建的公理化设置中发现真理。有时，这些设置看起来非常明显是正确的，以至于我们将这些真理视为普遍真理。我想到的是我们的数字系统。事实上，计数和算术在帮助我们理解世界和开发新技术方面非常成功。很难想象没有数字和算术规则的数学。
但是欧几里得几何呢？两千年来，它一直被视为进行几何学的唯一方法，客观几何真理的唯一来源。数学家们一生都在试图证明，为了使其他公设成立，平行公设必须为真。我们的直觉和经验告诉我们，它必须以这种方式工作，但这仅在一种几何公理系统中才是正确的。“真理”我们在那里发现的“真理”仅限于该系统。欧几里得几何非常有用，但是有数世纪的水手和天文学家会告诉你，球面几何也有其自身的真理。欧几里得几何不会使球面几何失效，反之亦然。
在题为“不存在公众舆论”的章节中，艾伦伯格谈到了法国大革命时期的政治哲学家尼古拉·德·孔多塞，他想开发更好的选举决策方法。在有三名以上候选人的竞选中，“简单多数制”系统可能会导致问题（想想罗斯·佩罗或拉尔夫·纳德）。孔多塞想找到一种公平的投票方法，该方法应满足以下投票“公理”：“如果大多数选民更喜欢候选人 A 而不是候选人 B，那么候选人 B 就不能成为人民的选择。” 这是合乎逻辑、公平且不可能的。很容易想出石头剪刀布偏好的例子：大多数人更喜欢候选人 A 而不是候选人 B，候选人 B 而不是候选人 C，候选人 C 而不是候选人 A。根据孔多塞的公理，没有候选人可以获胜。无政府状态统治。
进入数学形式主义。形式主义将问题从获得正确答案转变为获得遵循规则的答案。艾伦伯格写道，
“G.H. 哈代在钦佩地说到 19 世纪的数学家终于开始询问诸如1-1+1-1+…
应该定义为什么，而不是它们是什么……时，他所谈论的就是这个。”
“哈代肯定会认为孔多塞的痛苦是最不必要的困惑。他会建议孔多塞不要问谁是真正最好的候选人，甚至不要问公众真正打算让谁上任，而是我们应该定义哪个候选人是公众的选择。”
我以前从未从这些角度考虑过，但艾伦伯格解释说，选举、审判甚至棒球都可以通过数学形式主义来理解。在某些方面，这似乎像作弊。找到正确答案太难了，所以我们制定新规则，并将“正确”定义为“遵循我们的规则”。但在最后一章“如何正确”中，艾伦伯格强调，这关乎理解我们可以回答哪些问题以及我们方法的局限性，以便我们可以明智地采取行动。当事情变得复杂时，我们不会只是束手无策。我们会分析它，并尽可能多地权衡各种选择。他写道，
“人们通常认为数学是确定性和绝对真理的领域。在某些方面，这是正确的。我们处理必然的事实：2+3=5 以及所有这些。”“但数学也是一种我们可以推理不确定性的手段，即使不能完全驯服它，也能驯服它……数学为我们提供了一种有原则的不确定方式：不是仅仅举手说‘嗯’，而是做出坚定的断言：‘我不确定，这就是我不确定的原因，这大致是我不确定的程度。’甚至更多：‘我不确定，你也应该不确定。’”
艾伦伯格将数学描述为“通过其他方式扩展常识”，是从托尼·斯塔克变成钢铁侠的一种方式。《如何避免错误》可以帮助您探索您的数学超能力。