本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点。
我最近一直在阅读关于希尔伯特问题的资料。这是德国数学家大卫·希尔伯特在1900年巴黎国际数学家大会上提出的23个问题。（更准确地说，希尔伯特在大会的演讲中提出了其中10个问题。完整的列表后来才发布。数学家们并没有区分亲自提出的10个问题和其余的问题。）
希尔伯特是二十世纪之交的数学巨匠之一，他对数学中最诱人的未解决问题的评估影响了此后数学研究的进程。
我开始研究希尔伯特问题，是因为我正在进行的一个项目涉及千禧年难题。这是克雷数学研究所在2000年提出的七个问题列表，作为新千年开始时数学中最重要的七个未解决问题。我曾将千禧年难题视为希尔伯特问题列表的一种更新，但我不太熟悉他的问题，所以我想了解更多。
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每个千禧年难题都附带 100 万美元的奖金。解决其中任何一个，您都可能成为百万富翁。（或者，像迄今为止唯一解决其中一个问题的人一样，您可以拒绝奖金并完全离开研究领域。*）可能正是因为每个问题都附带丰厚的奖金，克雷研究所制定了关于如何决定和颁发奖项的详细指南，以及由该领域专家撰写的每个问题的官方描述。每个问题的状态都定义明确。（庞加莱猜想已解决，其他六个尚未解决。）
与千禧年难题相比，希尔伯特的问题列表看起来有点像一个学生忘记了截止日期，在最后一刻匆忙拼凑起来的学期论文。有些问题太容易了：第三个问题实际上在希尔伯特提出之前就已经被解决了，尽管当时解决方案尚未发表；实际上发表了解决方案的马克斯·德恩在希尔伯特提出问题后很快就解决了它。有些问题是不适定的：第四个问题有时被描述为“太模糊而无法解决”，而第 23 个问题只是“变分法方法的进一步发展”。将问题分类为“已解决”和“未解决”列表有点混乱。第十个问题（pdf）显然已得到解决。第八个问题，其中包括黎曼猜想，显然仍然是开放的。但是，例如，关于第二个问题应该在多大程度上被认为是已解决的，数学家们有不同的看法。在我为这篇文章进行的研究中，我查阅了几本书籍和网站，所有这些书籍和网站对于哪些问题已解决，哪些问题仍未解决都有略微不同的观点。我不禁想到，在最宽容的解释中，业余的希尔伯特问题为流畅、专业的千禧年难题铺平了道路。（因此有了这篇文章的标题。）
但也许这种描述对希尔伯特是不公平的。为什么数学中未解决的问题列表就应该是整洁的呢？毕竟，这些问题是未解决的，这意味着我们不知道它们是否会得到解决，或者如何解决，或者它们的解决方案是否会向我们表明我们一开始就问错了问题。希尔伯特本人写道：“事先正确判断一个问题的价值是困难的，而且常常是不可能的；因为最终的奖励取决于科学从问题中获得的收益。” 从另一个角度来看，与希尔伯特更具生命力、更庞杂的列表相比，千禧年难题更像是企业化和经过修饰的。
金钱也使事情变得复杂。当有一个丰厚的奖金来奖励达到某个明确的终点时，像“变分法的进一步发展”这样的开放式问题是不合理的，但是自 1900 年以来，变分法确实得到了很大的发展，部分原因在于希尔伯特的挑战。
在我不再将希尔伯特的问题列表视为草率和模糊之后，我开始欣赏这些问题——尽管或者正是因为它们有点混乱——在 20 世纪的数学中促进了几个富有成果的研究方向。有时，最重要的部分是它们启发数学家们首先弄清楚什么是“正确”的问题。哪些公理、数字或形状集合以及量词的组合会引出最有趣的问题？即使是已解决的问题，例如第十个问题，也开辟了继续吸引数学家的研究领域。
没有什么表明千禧年难题没有产生同样的效果。其中只有一个问题得到解决，但其他问题的部分结果仍在不断涌现。这组规模较小、重点更集中的问题是否会像希尔伯特的问题一样激发如此多的创新？现在还无法知道。
在任何人类的努力中，需要是发明之母。在数学中，问题往往是这种需要的来源。希尔伯特也这样说过：
某些问题对于数学科学的整体进步的深刻意义，以及它们在个体研究人员的工作中所起的重要作用，是不可否认的。只要一个科学分支提供大量的问题，它就是活着的；缺乏问题预示着灭绝或独立发展的停止。正如每个人类事业都追求某些目标一样，数学研究也需要它的问题。正是通过解决问题，研究人员才能检验[他们]钢铁的韧性；[他们找到]新的方法和新的视角，并[获得]更广阔和更自由的视野。
*格里戈里·佩雷尔曼，他证明了庞加莱猜想，拒绝了克雷研究所的奖金和菲尔兹奖。这笔钱被用来设立庞加莱教席，该教席资助在巴黎亨利·庞加莱研究所为有前途的研究人员提供 6 个月和 12 个月的访问职位。我的配偶几年前获得了其中一个职位，所以我的评估应该被认为是非常有偏见的，但资助几个短期职位似乎比给一个人一大笔钱更能鼓励数学研究。