有人连续抛掷硬币 76 次都是正面吗？

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

汤姆·斯托帕德的荒诞剧《罗森克兰茨和吉尔登斯吞死了》以他们中的一位，吉尔登斯吞（还是罗森克兰茨？）抛掷硬币开场。“正面，”罗森克兰茨说，并拿起硬币。吉尔登斯吞再次抛掷。“正面，”罗森克兰茨说，并拿起硬币。又一次抛掷。“正面。”再次，“正面。”很快我们发现吉尔登斯吞已经抛掷了 76 次硬币，而且全部都是正面。“一个意志薄弱的人，”他评论道，“如果说在其他方面没有，至少在概率法则方面，可能会被触动去重新审视他的信仰。”

我抛掷了数十亿年的硬币才得到这张照片。图片来源：伊芙琳·兰姆。

当他们继续抛掷硬币，而罗森克兰茨的钱包继续增长时，吉尔登斯吞得出结论，对于这种极不可能连续出现正面的情况，有几种可能的解释

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“第一：我愿意这样。在我内心深处，在没有任何显现的地方，我是一个旋转双面都是正面的硬币的人的本质，并且为了对一个被遗忘的过去进行私下赎罪而与自己打赌……

“第二：时间已经停止，并且一枚硬币旋转一次的单一体验已经被重复了九十次……

“第三：神圣的干预，也就是说，来自上天的关于他的恩惠，参见以色列的子民；或者来自上天的关于我的报应，参见罗得的妻子……

“第四：对每个单独旋转的硬币正面朝上的可能性与反面朝上的可能性相同，因此每次正面朝上都不应该感到惊讶这一原则的壮观证明。”

当我观看这个场景时（在我的大学对该剧的精彩制作期间），我想知道概率是多少。世界上是否有人可能连续抛掷硬币 76 次都是正面？我对大数字没有很好的直觉，所以我真的不知道它应该走向哪个方向。一方面，任何一次连续抛掷 76 次硬币都是正面的可能性极低。另一方面，70 亿人是一个很大的数字。他们都在抛掷硬币吗？可能不是，但有些人是。如果我抛掷硬币 76 次，我总共可以得到 2⁷⁶ 种不同的正面和反面组合，其中只有一种是全部正面。Wolfram Alpha 告诉我 2⁷⁶ 大约是 7.5×10²²，因此连续得到 76 次正面的概率约为 1.3×10^-23，这比 70 亿分之一更接近 0。即使世界上每个人都至少抛掷了硬币 76 次，几乎也不可能有人最近的 76 次抛掷都是正面。

那么，是世界上任何人可能见过的最长连续正面是多少？假设他们抛掷的是正面和反面朝上的机会各占 50/50 的公平硬币？这个问题没有明确的答案。我们必须对抛掷硬币的人做出一些假设，并对如何定义问题做出一些选择。

我们可以问，最大的数字 n 是多少，使得某人有可能在他的最后 n 次抛掷硬币中抛掷出 n 次正面。换句话说，目前正在进行的最长连续正面是多少？这个问题相当简单：在 n 次抛掷中连续得到 n 次正面的概率是 1/2ⁿ。我们需要确定世界上有多少人经常抛掷硬币。我对其他文化中的抛掷硬币不太了解，但我猜想，习惯性抛掷硬币的人不会超过十亿。十亿可能是一个高估，但这是一个很好的整数，所以我选择它。我们想找出哪个 n 使 2ⁿ 大约等于 10 亿，结果证明 30 非常接近。如果有十亿人至少抛掷了硬币 30 次，那么如果其中一人在过去的 30 次抛掷中抛掷出 30 次正面，也就不足为奇了。

另一方面，也许我们想问的是，任何人见过的最长连续正面是多少。因此，我们不是问最近 30 次抛掷是否都是正面，而是问任何抛掷过比如说 100 次硬币的人，是否曾经见过连续 30 次正面。这更有可能：在您的 100 次抛掷中在某个地方连续得到 30 次正面的可能性约为三千万分之一。如果世界上至少有三千万人抛掷过硬币 100 次，那么如果其中一人在某个时候连续抛掷出 30 次正面，也不应该感到惊讶。如果我们假设有十亿人至少抛掷过硬币 100 次，我们可以看到，其中一人在某个地方连续35 次正面也就不足为奇了。连续 76 次（或 90 次，罗森克兰茨最终的连续次数）正面不太可能。如果您抛掷硬币 500 次，则只有 3.5×10²⁰ 分之一的机会连续得到 76 次正面。这比最近 76 次抛掷都是正面的可能性高一千倍，但仍然令人难以置信。

一个相关的问题是，罗森克兰茨和吉尔登斯吞需要抛掷多少次硬币才能期望在他们的抛掷中某个时候得到连续 90 次正面。与硬币的总抛掷次数相比，您应该期望的最长连续次数 (pdf) 的长度增长非常缓慢。在抛掷 100 次硬币的情况下，最长连续正面的近似期望长度为 6。对于抛掷 1000 次，最长连续正面的期望长度仅增加到 9。我稍微玩了一下数字，发现如果您抛掷硬币 2,000,000,000,000,000,000,000,000,000，或 2×10²⁷ 次，您应该期望您的最长连续正面约为 90。也许《罗森克兰茨和吉尔登斯吞死了》只是两个男人以每秒一次的速度抛掷硬币，持续时间比宇宙存在的时间长数十亿倍的史诗故事中的一个快照。

在计算了数字之后，我确信世界上没有人曾经在公平的硬币上连续抛掷出 76 次或 90 次正面，就像罗森克兰茨和吉尔登斯吞在剧中做的那样。但我想这就是戏剧的魔力。当然，斯托帕德从未给我们罗森克兰茨取得如此惊人成功的理由。然而，他和吉尔登斯吞确实利用他们违反逻辑的运气与“演员”，一个巡回剧团的领队赢了一些赌注。在演员怒气冲冲地离开后，罗森克兰茨看着他最后抛掷的硬币说，“我说——那真是幸运……是反面。”

如果您想阅读更多关于抛掷硬币和概率的内容，请查看我在数学博客博客上关于该主题的文章。