本文发表在《大众科学》的前博客网络中，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点
如果你今天感觉有点沮丧，也许一个快乐数会让你振作起来。要看一个整数是否快乐，首先将它的各位数字平方（以十进制为基础，尽管在其他进制中也类似地定义了快乐数），然后将它们加在一起。所以数字 23 会变成 13，因为 22+32=4+9=13。现在迭代这个过程。对于 13，我们得到 1+9=10。然后 10 变成 1，它会一直保持不变。如果一个数字最终变成 1，它就被称为快乐数。如果不是，它将最终陷入一个无尽的循环，达到 4，然后是 16、37、58、89、145、42、20，然后又是 4。
不幸的是，“快乐”这个绰号的原因已经消失在历史的长河中。但我当然能理解为什么一个被困在 4 – 16 – 37 – 58 – 89 – 145 – 42 – 20 – 4 循环中的数字可能会不快乐。
仅仅为了有趣而弄清楚数字是否快乐已经足够令人愉快了，但我今天写关于快乐数是因为我了解到它们有一个奇怪的属性：没有办法准确指出有多少个快乐数。
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乍一看，这句话是错误的。有无限多个快乐数。至少，所有 10 的幂都是快乐数。但是，如果我们不是要求计算快乐数的数量，而是询问整数中快乐数的比例是多少，故事就会变得更有趣。数学家使用术语渐近密度来表示这个概念。
即使我还没有定义渐近密度，你可能也不会觉得很难相信偶数的渐近密度是 1/2：当我们沿着数轴越走越远时，我们会发现我们看到的正整数中大约有一半是偶数。它可能略有偏差——毕竟，从 1 到 5 的整数中只有 40% 是偶数——但我们看到的数字越多，我们的估计值与 50% 的偏差就越小。
另一方面，整数中 10 的幂的渐近密度为 0，因为它们之间的距离不断增大。1 到 10 之间有两个 10 的幂，占这些数字的 20%，1 到 100 之间有 3 个（3%），1 到 1000 之间只有 4 个（0.4%），依此类推。虽然 10 的幂会永远出现，但它们会变得越来越稀疏。
严格来说，如果当 n 变得任意大时，从 1 到 n 的整数中属于该集合的比例接近 p，则整数集合的渐近密度为 p。
许多数字集合都有定义的渐近密度，但并非所有集合都有。没有定义密度的集合往往会呈现盛宴或饥荒的趋势。例如，考虑第一个数字为 1 的整数。如果我们看一下一位数，正好有 1/9 的数字以 1 开头。然后我们会遇到一大串以 1 开头的数字。如果我们看一下它们在 1 到 19 之间的比例，我们会跳到 11/19。然后看看从 1 到 99 的数字，我们会一直下降到 11/99，即 1/9。
如果我们尝试为这个集合找到渐近密度，我们会发现，如果我们刚好在以 1 开头的大段数字之后计算密度——100、1000 等——以 1 开头的数字的比例将接近 5/9。但是，如果我们刚好在达到 100 或 1000 等重大里程碑之前结束计数，它们的比例将为 1/9。从渐近密度的角度来看，没有办法弥合 1/9 和 5/9 之间的差距。以 1 开头的整数集合没有密度。（有趣的是，在这种情况下，没有密度与密度为 0 是不同的。说该集合的渐近密度未定义可能更明确，但那样还有什么乐趣呢？）
顺便说一句，1/9 称为该数字集合的下密度，5/9 称为上密度。粗略地说，下密度是当你沿着数轴前进时，你可以使集合变得多么稀疏的极限，而上密度是你如何使它变得密集的极限。如果上密度和下密度匹配，则集合具有定义的渐近密度。（密度的其他概念会为那些没有渐近密度的集合产生定义的密度值，但我们今天不担心这些。）
1 到 10 之间有 3 个快乐数，1 到 100 之间有 20 个，1 到 1000 之间有 143 个，1 到 10,000 之间有 1442 个。（在线整数序列百科全书专门用一个序列来计算 1 到 10n 之间的快乐数。）看起来快乐数的密度可能在 14% 左右。但令我有点惊讶的是，快乐的渐近密度并不存在。贾斯汀·吉尔默写了一篇论文表明，快乐数的下密度低于 12%，上密度高于 18%。（令人高兴的是，他的论点涉及“b-快乐函数”。）下密度和上密度之间的差距不像以 1 开头的数字那么大，但足以破坏密度。
快乐数没有定义的渐近密度这一事实意味着数轴的某些部分比其他部分集中了更多的快乐。我不确定这是否让我感到快乐。
在我告诉他关于快乐数及其不可定义的密度后，我的配偶乔恩·柴卡将这个想法应用于当地的中学生数学小组。你可以在这里找到工作表的 pdf 文件和教师指南。