西柚数学

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点

这学期我教了一门拓扑学和几何学课程，我们涵盖的主题之一是球面几何。球面几何的一个有趣的特性是，在给定的球面上，三角形的角度完全决定了三角形的边长和面积。（如果您觉得这相当令人不安，您并不孤单。十八世纪的瑞士数学家约翰·兰伯特也不喜欢这样。）

我们用西柚和皮筋做了一个活动，根据球面三角形的角度计算其面积。我使用西柚是因为它们足够大，您可以清楚地看到发生了什么，而且它们凹凸不平的表皮有助于皮筋固定，但其他球形物体也可以使用。同样，皮筋也不是必需品。您只需要一个结实、相当大的橡皮筋类型的物体。

我的学生主要是大学三年级的数学专业学生，但我认为这项活动可以适用于许多不同年龄段和数学兴趣水平的学生。如果您使用它，请告诉我效果如何！

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材料（每人）

1 个西柚
3 根结实的橡皮筋或皮筋
1 支或多支记号笔

说明

1. 在西柚上画三个点。为了方便起见，其中一个点应该是茎。

2. 将一根皮筋穿过茎和另一个点套在西柚上，使其尽可能对称地将西柚分成两半。可以想象西柚是一个地球仪，茎是北极。您的皮筋应该像一条经线，因此它应该穿过茎、另外两个点中的一个以及西柚的“南极”凹陷处。

3. 将另一根皮筋穿过茎和西柚上的第三个点套在西柚上，使其尽可能对称地将西柚分成两半。

在我们添加皮筋来制作最后一条边之前，让我们暂停一下并思考一下这个图形。这被称为球面月形。我将顶部的角标记为 α，因为数学家喜欢用希腊字母表示角。

两条皮筋在西柚的南极再次相遇，它们在那里的角度与顶部的角度相同，所以我也将那里标记为 α。

我们稍后需要知道球面月形的面积，所以我们现在就计算出来。不难看出，球面月形的面积应该与角 alpha 成正比。球体的表面积是 4πr²。如果我们的角度是 π 弧度，即 180 度，那么我们得到的球面月形将是一个半球，其面积将是 2πr²。如果我们的角度是 π/2 弧度或 90 度，我们将得到整个球体的四分之一，因此面积将是 πr²。这种模式持续下去。球面月形的面积是 2αr²，其中 α 是以弧度为单位的角度。

现在我们准备添加三角形的第三条边了。

4. 将第三根皮筋套在西柚上，连接两个未连接的点，再次尝试创建尽可能对称的两半。

我的西柚不是一个完美的球体，所以对我来说，两个“半球”大小不一样。水果越接近球形，您就能做得越接近。

我将另外两个角标记为 beta 和 delta（因为 gamma 看起来太像 alpha 了）。

请注意，西柚的另一侧有一个角度相同的匹配三角形。

现在我们拥有计算球体面积所需的所有要素。您可以现在停止阅读并自己计算出来。如果您遇到困难，请继续阅读。

一切都与球面月形有关。当我们把三根皮筋放在三角形上时，我们创建了两个角度为 α 的球面月形，两个角度为 β 的球面月形和两个角度为 δ 的球面月形。（我们还创建了角度为 π-α、π-β 和 π-δ 的球面月形，但我们不关心它们。）根据设计，我们感兴趣的 α-β-δ 三角形中的每个点都在一个 α 球面月形、一个 β 球面月形和一个 δ 球面月形中，西柚底部的匹配三角形中的每个点也是如此。球体上的每个其他点仅在这些球面月形之一中。如果我们将球面月形的总面积相加，我们将计算出这两个三角形中的每个点三次，而不是仅一次。

我们可以将这些观察结果转化为一个小代数方程。我们用 T 表示三角形的面积。请记住，前面提到角度为 α 的球面月形的面积为 2αr²，整个球体的面积为 4πr²。我们得到方程

4πr²=4αr²+4βr²+4δr²-4T

解开这个方程，我们可以解出 T=(α+β+δ-π)r²。

思考题

1. 您能理解为什么球面月形面积的模式会持续下去吗？您能想到一种方法来说服一位持怀疑态度的朋友吗？

2. 为什么不在 α-β-δ 三角形中的每个点都只在一个 α、β 或 δ 球面月形中？换句话说，为什么球体上的每个点都在一个或三个 α、β 或 δ 球面月形中？

3. 当球面上的三角形缩小时，其角度会变小，其角和会越来越接近 π 弧度或 180 度，这是欧几里得几何中三角形的角和。这与您作为巨大球体的居民的日常生活有什么关系？