本文发表于《大众科学》的前博客网络，仅反映作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
周一，巴黎高等师范学院的哈拉尔德·赫尔夫戈特在预印本知识库 arxiv 上发布了数论中最古老的未解决问题之一的证明。三元哥德巴赫猜想，就像数论中的许多问题一样，很容易陈述但很难证明。每个大于 5 的奇数都可以写成三个素数之和。（素数除了自身和数字 1 之外没有其他因数。）例如，7=2+2+3 和 91=7+41+43。
三元哥德巴赫猜想有时被称为弱哥德巴赫猜想。强哥德巴赫猜想指出，每个大于 2 的偶数都可以写成两个素数之和。这两个猜想都是在 1742 年克里斯蒂安·哥德巴赫和莱昂哈德·欧拉的通信中提出的，因此得名。从逻辑上讲，如果你证明了强哥德巴赫猜想，你就会免费得到弱哥德巴赫猜想：如果你有一个大于 5 的奇数，从中减去 3。现在你得到一个大于 2 的偶数。因此，如果你知道每个大于 2 的偶数都是两个素数之和，你可以加上 3（一个素数）得到你的奇数，分解为三个素数之和。
关于支持科学新闻
如果您喜欢这篇文章，请考虑通过以下方式支持我们屡获殊荣的新闻报道 订阅。通过购买订阅，您正在帮助确保有关塑造我们今天世界的发现和思想的具有影响力的故事的未来。
遗憾的是，反过来不行。如果你有一个写成 3 个素数之和的奇数，并减去其中一个奇素数，你就会得到一个写成两个素数之和的偶数，但不能保证所有偶数都会以这种方式出现。但是三元哥德巴赫猜想确实确定每个偶数都可以写成最多 4 个素数之和：只需从你想分解的偶数中减去任何奇素数（例如，3，或 257885161-1 ），你就会得到另一个奇数，我们现在知道它可以写成三个素数之和。这改进了奥利维尔·拉马雷 1995 年的定理，即每个偶数都是最多 6 个素数之和。
赫尔夫戈特的结果意义重大，但它并非凭空而来。他的工作是使用一种称为哈代-李特尔伍德-维诺格拉多夫圆法技术的长篇论文的一部分。（很吸引人，是吧？）圆法的非常一般的思想是，我们将关于一组数字（在本例中为素数）的问题转化为关于圆上积分的问题，使用最初来自复平面分析的技术。令人惊讶的是，甚至可以将关于整数的问题（这些整数在数轴上离散分布）转化为关于连续函数的问题。“关于素数或整数分布的问题可以用根据它们定义的连续函数的性质自然地表达，”赫尔夫戈特在一封电子邮件中写道。我对圆法的更具体的解释超出了我的能力范围，但是如果你想更深入地研究它及其局限性，你可以查看 特伦斯·陶的这篇文章。它不适合厌恶公式的人。
在 20 世纪 30 年代，苏联数学家伊万·维诺格拉多夫确定，三元哥德巴赫猜想对除有限多个奇数之外的所有奇数都成立，因此如果有人可以“只是”检查某个巨大数字 C 以下的奇数，一切都会很好。只是有一个棘手的问题，维诺格拉多夫的界限约为 106846168，这对于今天的计算资源来说是一个不可能的巨大数字，更不用说维诺格拉多夫可用的计算资源了。在接下来的 70 年左右的时间里，截至 2002 年，上限已降至 101346 左右，但仍然太大而无法处理。
赫尔夫戈特于 2006 年在蒙特利尔担任博士后时开始研究哥德巴赫猜想。“我一直在尝试看看证明维诺格拉多夫定理的一些不同方法是什么，”他在一封电子邮件中写道。“我意识到可以在没有圆法的情况下证明它，”他写道，但是，“似乎不可能通过替代证明给出合理的界限 C。” 但是论文和与其他研究人员的对话给了他如何改进来自圆法的界限的提示。
赫尔夫戈特最终设法将上限降至 1030，这是一个更容易处理的大小，并且与布里斯托尔大学的大卫·普拉特一起，他通过计算机验证了该猜想对于该界限以下的所有数字都成立。但是大量的计算资源被用于证明广义黎曼猜想 (GRH) 对于大量但有限数量的情况成立。GRH 是数学中最重要的未解决问题之一。如果得到解决，它将帮助我们比现在更好地理解素数的分布。事实上，如果 GRH 得到证明，三元哥德巴赫猜想将成为一个推论。但在目前，计算机辅助检查 GRH 对于某些数字是我们可以做的最好的事情。
当然，在一个过去一个世纪以来一些最杰出的数学家都在研究的问题上取得实质性进展并非易事。“有很多死胡同——有一次我不得不扔掉一份 50 页的手稿，”赫尔夫戈特写道。“很难从中间判断该计划是否真的会成功。毕竟，如果我将 C 降至 10100，那仍然大于宇宙中亚原子粒子的数量乘以自大爆炸以来的秒数——根本不可能检查那么远的东西！” 赫尔夫戈特写道，明确地跟踪界限是这项工作中最困难的部分之一。“关于这个问题，一件烦人的事情是，事实证明它不是那种我可以在看电影或听音乐会时在脑海中思考的事情（即使我不应该这样做），”他写道。“不过，我确实在淋浴时得到了一些好主意。”
赫尔夫戈特的论文尚未经过同行评审，但数论学家似乎乐观地认为该定理将经得起审查。不幸的是，它并没有为强哥德巴赫猜想提供太多启发。特伦斯·陶去年证明每个奇数都可以写成最多五个素数之和，他在 Google Plus 上写道，“圆法本身不太可能解决偶数哥德巴赫猜想。” 赫尔夫戈特写道，问题的本质是强哥德巴赫猜想需要在关键点进行渐近估计——关于某些量的值的更精细的信息——而不是通过当前方法获得的粗略上限。
我问赫尔夫戈特他是如何庆祝他的成就的。“嗯，我昨天就此做了一个演讲，然后当地人带我出去吃晚饭，这通常发生在一个人访问一个地方做演讲时。我的父母现在要来看我了，所以这将是休息一下的好时机。” 赫尔夫戈特完成这个重大项目并回到他的正常生活，包括非数学研究，这可以理解地让他感到宽慰。“我有时面临着一个两难的境地，是熬夜工作还是准备俄语考试，”他写道。“希望我现在可以赶上语言学习了，因为这件事已经完成了。” 赫尔夫戈特精通英语、法语、西班牙语、德语和世界语，根据他的 博客，“非常需要练习”波兰语、克丘亚语（他的祖国秘鲁的一种本土语言）和俄语。*
这篇文章的标题暗示了巴赫的 《哥德堡变奏曲》。我只能希望 Vi Hart 或其他有才华的人正在以《哥德堡变奏曲》的主题曲调创作一首关于哥德巴赫猜想的歌曲。与此同时，这是一篇 2012 年 《连线》杂志的文章，关于音符的酷炫可视化。
*这句话是在发布后编辑的。赫尔夫戈特发邮件给我更正了他说的语言列表。他还寄给我一张他最近的照片，我已经添加到帖子的顶部。