本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
我们大多数人在学校里都学过一些欧几里得几何。我们了解到三角形的内角和为 180°。我们学习如何证明直线是平行的，或者形状是全等或相似的。即使我们生活在一个不是平坦的星球上，我们的日常直觉也处在一个让我们感觉欧几里得几何是思考形状、长度和角度的自然方式的尺度上。
我认为，更多的学生没有在早期教育中接触到非欧几里得几何，这真是一种遗憾，但这又是另一篇文章的主题了。我想说的是，如果一个人有幸遇到在完全平坦的平面上发生的几何之外的几何，他就会了解到，几何学的内涵远不止两栏证明和勾股定理。
我们在欧几里得几何中培养的直觉并不能让我们为非欧几里得几何做好准备。当我第一次开始研究双曲几何（非欧几里得几何的一种）时，我发现的乐趣之一是，许多看起来如此明显以至于不需要任何形式的证明的东西，当我们离开平坦的欧几里得平面时，就完全是错误的了。
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例如，在非欧几里得几何中，不存在一对相似但不全等的三角形。球体几何是非欧几里得几何的另一种形式，所以我们可以把它放在地球仪上思考。在地球上，有一个三角形连接着北极与基多（厄瓜多尔首都）和利伯维尔（加蓬首都）。这个三角形接近于一个具有三个直角或 270° 内角的三角形。（大西洋正在扩张，所以在几十亿年后，它会更接近。）另一方面，德克萨斯州的“金三角”（一个只有丹顿似乎用来称呼达拉斯、沃斯堡和丹顿所跨越的地区的名称），其内角总和为 180.002°，仅比平面三角形略大一点。（感谢 David Radcliffe 设计了我用来计算出来的工具。）
如果您在地球仪（或柚子）上玩更多三角形，您会发现三角形的总面积与三角形的总角度成正比地增加。您无法在地球上找到一个以城市为顶点、相距数千英里的金三角形状的三角形。球面几何不允许您这样做。 在双曲几何中，关系则相反：三角形越大，其总角度越小。
在欧几里得几何中，没有自然的测量标尺。在历史进程中，人类选择了许多不同的方法来测量平面距离。所有这些方法都有点随意。事实上，我认为正是我们在平面几何方面的经验让我们认为，测量单位是任意的是正常的。
但情况不一定是这样。在球面几何和双曲几何中，将形状大小与其内角联系起来的公式总是会弹出这些讨厌的系数。球面三角形面积的公式是 K2(a+b+c−180)，其中 a、b 和 c 是三角形三个角的测量值（以度为单位），双曲三角形的面积是 K2(180−a−b−c)。K2 因子来自空间的固有曲率，或者 空间在每个点弯曲的程度。在球体上，曲率与球体的半径有关。较小的球体具有较高的曲率，而较大的球体具有较低的曲率。（棒球比篮球更弯曲。）
对于大多数数学家来说，K2 有点分散注意力。两个不同大小的球体之间的共同点多于不同点，为什么要跟踪这些系数呢？这是算术错误的根源。如果 K2 无论如何都只是 1，岂不是更好吗？好消息：这个天堂可以属于你！只需将您的测量单位设置为您正在观察的球体的半径即可。对于居住在地球上的人来说，正确的长度基本单位不是米、英尺、弗隆或英寻，而是地球本身的半径。
计量史爱好者可能会指出，米最初是根据地球的大小定义的。具体来说，米被定义为沿经线从赤道到北极距离的百万分之一。（米后来根据真空中的光速重新定义。）但是，拜托，把它与周长的四分之一而不是半径联系起来？如果你问我，这是一个真正的失误。所以我认为我们需要废弃米，从半径（缩写为 R）重新开始。
地球的半径约为 3,963 英里，因此我们需要真正习惯科学计数法，才能开始用半径来表达日常测量值。我身高 2.589×10−7 R。我住在离我长大的地方约 0.25 R 的地方。我正在做一个缝纫项目，需要我制作很多 3.983×10−9 R 的斜纹带。我确信您会同意，与知道您正在使用地球提供给我们的唯一正确的长度单位所带来的满足感相比，额外的工作是微不足道的。
“但是伊芙琳，”你说。“地球不是一个球体。”
我深吸一口气。“坦率地说，地球上所有的政府都不可能有效地合作，以维持关于地球形状的大规模阴谋，持续几千——”
“不，不，”你笑着说。“我的意思是，它是一个扁球体。它不是一个完美的球体。”
说得有道理。没错，地球不是完全球形的。它在赤道处略微鼓起（比你可能听说的台球还要多），使其成为一个扁球体而不是球体。我们这里有几个选择。首先，我们可以不用担心它。地球中心与地表上一点之间的最大和最小距离之差为 13 英里，在 几乎 4,000 英里中，约占 0.3%。我们测量的任何东西都不可能如此重要，以至于我们需要有 300 分之一的误差，对吗？另一种选择是只选择一个值并使用它。国际大地测量学与地球物理学联合会为地球半径提供了几个选项，包括 赤道半径（3963 英里）和三个不同的平均半径，所有这些半径都非常接近 3959 英里。
无论关于精确定义的最终决定是什么，我们可以确信地球已经为我们提供了一个美丽的绝对单位，我们将永远不必再争论如何测量任何东西了。