外推法的谬误：费马素数案例

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

抱歉，皮埃尔，并非所有费马数都是素数。图片：公共领域，来自维基共享资源。

塞缪尔·阿贝斯曼最近撰写了关于不正确的数学猜想的文章。我想补充一个我最喜欢的例子，它是在几周前我的数学史课上出现的。与阿贝斯曼写到的那些仅对非常大的数字才失效的反例猜想不同，这个猜想在数字5时就失效了。

皮埃尔·德·费马是一位业余数论学家，他现在最著名（或者说臭名昭著）的是他在页边空白处潦草写下的一段注释，这段注释引发了长达400年的探索，以证明被称为费马最后定理的理论。

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然而，费马关于素数的猜想解决得更快，不到一个世纪就解决了。费马注意到 2²¹+1（等于 5）是素数，2²²+1（即 17）是素数，更一般地说，当 n=0,1,2,3 或 4 时，2²ⁿ+1 是素数。形如 F_n=2²ⁿ+1 的数字现在称为费马数*，当它们是素数时，称为费马素数。费马猜想所有费马数都是素数。（与费马最后定理不同，他从未声称拥有这个猜想的证明。）

1732年，在费马去世约70年后，莱昂哈德·欧拉将第5个费马数分解为 641×6,700,417，推翻了费马的猜想。费马的猜想不仅失败了，而且败得一塌糊涂。到目前为止，唯一已知的费马素数是费马已知的那些。费马数增长非常快，因此即使使用现代计算能力，分解它们也很困难。从 F₅ 到 F₃₂ 的每个费马数已知都是合数，许多其他的费马数，包括最近的 F_3,329,780，也已知是合数，尽管我们仍然不知道其他一些费马数的状态，例如 F₃₃。（公平地说，对于正在处理它的计算机来说，F₃₃大约有26亿位数字。）

也许有一天会发现一个新的、巨大的费马素数，而某些人认为所有大于 F₄ 的费马数都是合数的猜想将被驳斥。循环将得以完成。

*这句话在发表后经过编辑，以更正费马数的定义。