本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
我对双曲几何情有独钟，这已经不是什么秘密了。我可以，而且有时也确实会花上几个小时来思考双曲平面中漂亮的形状。所以，当我发现一个工具，可以让你把你自己的照片变成漂亮的双曲形状时，我花了不少时间在上面。这个工具是由 Malin Christersson 创建的，她的网站上也有很多关于非欧几里得几何的页面。如果您想在阅读本文的其余部分之前了解更多关于双曲平面的信息，请查看它们。
欧几里得平面（或者你的地板或浴室墙壁）可以用等边三角形、正方形或六边形进行铺砌。这些形状完美地组合在一起，覆盖整个平面而不会重叠，而且这些是唯一可以做到这一点的正规形状。（许多不规则形状也可以，包括一种全新的五边形，它在数学爱好者中引起了轰动。）
欧几里得平面用等边三角形铺砌的镶嵌图。图片来源：R. A. Nonemacher，来自维基共享资源。
关于支持科学新闻
如果您喜欢这篇文章，请考虑通过以下方式支持我们屡获殊荣的新闻报道 订阅。通过购买订阅，您正在帮助确保关于塑造我们今天世界的发现和想法的具有影响力的故事的未来。
当我们铺砌双曲平面时，我们比在有限的欧几里得世界中拥有更多的自由。我们可以用等边三角形、四边形、五边形、六边形等等来铺砌它。不仅如此，我们可以用每种形状进行无限多种方式的铺砌。在欧几里得空间中，角度比在双曲空间中受到更多的限制。所有欧几里得三角形的内角和为 180 度，而在双曲空间中，三角形的内角和可以小于 180 度。在欧几里得空间中，等边三角形的角为 60 度，因此将它们在平面中组合在一起的唯一方法是将六个三角形围绕一个点放置。另一方面，在双曲空间中，一些等边三角形围绕一个点可以放置七个，一些八个，一些 50 个，甚至有些无限多个围绕每个顶点。
Christersson 并没有提供无限数量的镶嵌，但您会发现有很多可以玩的。双曲镶嵌通常根据使用的形状类型以及每个顶点周围有多少个形状来标记，因此 4,6 镶嵌表示每个顶点周围有六个四边形，而 6,4 镶嵌表示每个顶点周围有四个六边形。在镶嵌工具上，数字p代表多边形的类型，数字q代表应该围绕一个顶点的多边形数量。
这些镶嵌都基于双曲平面的庞加莱圆盘模型，Christersson 提供了一些关于双曲平面和她提供的一些选项的信息。当您玩耍时，看看您是否可以仅根据最终图像来识别图片使用了哪种类型的镶嵌。您能分辨出您是用三角形还是六边形来镶嵌它吗？每个顶点周围有多少个形状？您能弄清楚为什么不允许某些 p 和 q 的组合吗？
如果您正在尝试决定使用什么图片，M. C. 埃舍尔的圆极限绘画，其精神与此类似，但却是手工制作而不是在计算机上生成的，以天使、魔鬼、蜥蜴和鱼为特色，但经验证据表明数学家也成为了有吸引力的主题。