本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
在本期《我最喜欢的定理》节目中，凯文·克努森和我很荣幸与艾米莉·戴维·劳伦斯交谈。她是旧金山大学的数学教授，研究低维拓扑学。你可以在这里或在kpknudson.com收听，那里也有本期节目的文字稿。
对于她最喜欢的定理，劳伦斯博士选择了紧曲面分类，这是拓扑学入门课程中最棒的定理之一。分类定理指出，所有满足一些温和要求的曲面都拓扑等价于球面、环面之和或射影平面之和。（碰巧的是，我之前写过关于环面的文章，一篇关于射影平面的文章也即将发布。这是一种令人愉悦的不可定向曲面，就像更强烈的莫比乌斯带。）拓扑等价允许很大的自由度。只要你可以将一个形状变形为另一个形状，而无需刺穿或粘合任何东西，这两个形状就是拓扑等价的。
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紧曲面分类定理指出，就拓扑学而言，环面和射影平面构成除球面以外的所有其他曲面的构建块，球面只是孤立存在。如果您想知道取两个曲面的和是什么意思，这非常直观。你只需在每个曲面上切一个小孔，然后沿着孔将两个曲面缝合在一起。
两个曲面连通和过程的图示。鸣谢：Oleg Alexandrov Wikimedia (CC BY-SA 3.0)
如果你听过《我最喜欢的定理》第 0 集，劳伦斯博士最喜欢的定理听起来可能很熟悉。它与我个人最喜欢的定理，一致化定理密切相关。它们适用于略有不同的曲面类型。曲面分类定理适用于任何没有任何穿孔的二维曲面，而一致化定理仅适用于称为黎曼曲面的曲面。最重要的区别在于黎曼曲面必须是可定向的，因此一致化定理不适用于射影平面之和，而曲面分类定理对此没有问题。一致化定理不是按拓扑结构对曲面进行分类，而是说可定向曲面可以有三种不同的几何类型。它可以与曲面分类定理结合，表明每个可定向曲面都有一个自然的几何结构。像沙滩球这样没有孔洞的曲面，自然具有球面或椭圆几何。有一个孔洞的曲面自然具有平面几何，而有多个孔洞的曲面自然具有双曲几何。
双曲几何、欧几里得几何和椭圆（或球面）几何的图示。在双曲几何中，平行线彼此远离。在欧几里得几何中，它们保持相同的距离。在椭圆几何中，没有不相交的线。鸣谢： Pbroks13 和 Joshuabowman Wikimedia (CC BY-SA 3.0)
劳伦斯博士决定用一个经典的配对来解释她的定理：甜甜圈和一杯咖啡。这指的是一个经典的数学笑话：拓扑学家是那种无法区分甜甜圈和一杯咖啡的人，因为当您拉伸或挤压表面时，它们是等价的，两者都有一个孔。
马克杯和甜甜圈拓扑等价性的演示。鸣谢：Lucas V. Barbosa Wikimedia
您可以在kpknudson.com和Roots of Unity找到更多关于本播客中介绍的数学家和定理的信息，以及其他令人愉悦的数学趣味内容。文字稿在此处可用。您可以在 iTunes 和其他播客分发系统上订阅和评论播客。我们很乐意听到听众的来信，所以请发送邮件至 myfavoritetheorem@gmail.com。凯文·克努森的 Twitter 账号是 @niveknosdunk，我的账号是 @evelynjlamb。该节目本身也有一个 Twitter 账号：@myfavethm 和一个 Facebook 页面。下次加入我们，学习另一个引人入胜的数学知识。
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