本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点
您可能已经看过关于一块古代美索不达米亚泥板的头条新闻。《卫报》称：“近一个世纪的研究后，古代泥板的数学秘密被揭开”。《大众科学》补充说：“这块神秘的古代泥板可以教给我们一两件关于数学的事情”，“一些研究人员说巴比伦人发明了三角学——而且做得更好。” 《国家地理》则较为谨慎：“一项新的研究声称该泥板可能是对三角学研究最古老的贡献之一，但有些人仍然持怀疑态度。” 丹尼尔·曼斯菲尔德和诺曼·怀尔德伯格无疑很好地推销了他们在通常更为稳重的期刊《数学史》（Historia Mathematica）上发表的新论文。我想帮助大家区分关于这篇新论文的事实、推测和完全的无稽之谈。
什么是普林顿 322 号泥板？
普林顿 322 号泥板，即有争议的这块泥板，无疑是一件引人入胜的文物。它是一块破碎的粘土片，大约明信片大小。大约在公元前 1800 年，它在古代城市拉尔萨（今伊拉克境内）被刻满了四列楔形文字数字，并在 20 世纪 20 年代被移走。乔治·普林顿于 1922 年购买了它，并遗赠给了哥伦比亚大学，哥伦比亚大学自 1936 年以来一直拥有它。从那时起，许多学者研究了普林顿 322 号泥板，因此，您可能想象的曼斯菲尔德和怀尔德伯格在炎热、尘土飞扬的考古遗址中手膝并用，甚至在发霉、被忽视的档案中翻箱倒柜，挖掘出这件宝藏的画面是不准确的。我们几十年来就已了解这件文物以及其上的内容。研究人员声称对该文物的使用方式有了新的解释，但我对此持怀疑态度。
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自 20 世纪 40 年代以来，学者们就知道普林顿 322 号泥板包含勾股数组中的数字，即方程 a2+b2=c2 的整数解。例如，3-4-5 是一个勾股数组，因为 32+42=9+16=25=52。今年的 8 月 15 日被一些人庆祝为“勾股数组日”，因为 8-15-17 是另一个，稍微性感的勾股数组。
最右边一列由数字 1 到 15 组成，所以它只是一个枚举。普林顿 322 号泥板的中间两列包含勾股三角形的一条边和斜边，或者说是方程 a2+b2=c2 中的 a 和 c。（请注意，a 和 b 是可以互换的。）但这些比你在学校学到的勾股数组要复杂一些。第一个条目是 119 和 169，对应于勾股数组 1192+1202=1692。最左边一列是三角形边长的平方比率。具体是哪些边取决于文物左侧缺失碎片中包含的内容，但这并没有太大的区别。要么是斜边平方除以剩余边的平方，要么是一条边平方除以另一条边的平方。用现代数学术语来说，这些是三角形中某个角的正切或正割的平方。
我们可以将其中一列解释为包含三角函数，因此在某种意义上，它是一个三角函数表。但尽管头条新闻会让你相信什么，人们几十年来都知道这一点。谜团在于该泥板在当时的用途是什么。它为何被创造出来？为什么表中包含这些特定的三角形？这些列是如何计算出来的？在 1980 年一篇题为“巴比伦的夏洛克·福尔摩斯”的论文中，R·克雷顿·巴克暗示，通过数学和敏锐的观察，人们可以推断出泥板的含义，并提出了他认为适合数据的解释。但埃莉诺·罗布森在“既不是夏洛克·福尔摩斯也不是巴比伦”中写道，“如果我们想充分理解古代数学文本和文物，就必须从其数学-历史背景来看待它们，而不是将它们视为侦探小说风格的人为的、自成一体的创作。” 主要通过我们对现代数学的理解来看待古代文物是傲慢的，并且可能会导致不正确的结论。
它是做什么用的？
关于普林顿 322 号泥板是如何被创造出来以及被制造它的人使用的，有几种理论。曼斯菲尔德和怀尔德伯格并不是第一个认为它是一种三角函数表的人。另一方面，有些人认为它将勾股定理（古代美索不达米亚人和许多其他文明在毕达哥拉斯之前很久就已知的定理）与配方法联系起来，以解决二次方程，这是当时当地数学文本中常见的问题。有些人认为这些数组是通过使用未包含在表中的不同数字以“数论”方式生成的。有些人认为这些数字来自用于乘法的所谓倒数对。有些人认为该泥板是一种教学工具，也许是学生练习的来源。有些人认为它被用于更像原始数学研究的东西。关于这些解释的学术但易于理解的信息可以在1980 年巴克、2001 年和2002 年的罗布森以及2011 年约翰·P·布里顿、克里斯汀·普鲁斯特和史蒂夫·施尼德的文章中找到。
如果它是一个三角函数表，它比现代三角函数表更好吗？
曼斯菲尔德和怀尔德伯格对普林顿 322 号泥板的学术贡献似乎是推测该文物可以用来以比我们现在更精确的方式进行三角运算。在 UNSW 制作的宣传视频中，该视频一定是随附于发送给许多数学和科学记者的新闻稿（但没有发送给我——UNSW，这是怎么回事？），曼斯菲尔德声称该表“在某些方面优于现代三角学”，并且是“唯一完全精确的三角函数表”。
很难知道从哪里开始反驳他们提出的这部分主张。首先，该泥板包含一些众所周知的错误，因此声称它是有史以来最准确或最精确的三角函数表是不真实的。但即使是普林顿 322 号泥板的更正版本也不会彻底取代现代三角函数表。
如果您像我一样，不是从小使用三角函数表长大的，那么当您没有一台可以在瞬间以 10 位精度进行计算的计算机时，三角函数表是非常棒的工具。三角函数表将包含正弦、余弦、正切以及可能的其他角度三角函数的列。某个人或一群人会手工完成这些艰苦的计算，然后当计算中出现例如 cos(24°) 时，您就可以直接查找该值。今天，计算机通常使用三角函数公式，而不是调用所有值的列表，而且人类根本不需要知道太多值。这些公式基于微积分，并且可以根据需要精确。需要 50 位数的正确答案？您的计算机可以做到，可能很快就能完成。
如果您记住了“soh cah toa”或关于“some old hippie”的助记符，您可能会记得基本的三角函数是三角形边长的比率。一个角的正弦是对边除以斜边，余弦是邻边除以斜边，正切是对边除以邻边。大多数角的三角函数值不是有理数。它们不能写成两个整数的比率，因此您在三角函数表中找到的条目会在小数点后截断一些位数。曼斯菲尔德和怀尔德伯格似乎专注于这样一个观察结果：当直角三角形的边长都是整数时，这些比率都是有理数。普林顿 322 号泥板是一个“精确的”三角函数表，因为它只包含基于具有整数边长的三角形的三角函数。（事实上，该表的创建者将其设置为所有分数的分母都易于以 60 为基数表示。）
现代三角函数表基于以稳定速率增加的角度。它们可能会给出 1°、2°、3° 等，或 0.1°、0.2°、0.3° 等，甚至更精细的角度梯度的正弦值。由于像其他古代美索不达米亚人一样，制作普林顿 322 号泥板的人们从边长而不是角度的角度来思考三角形，因此角度不会稳定变化。这就是将其视为三角函数表与现代三角函数表之间的区别。两种方式都不是天生优越的。如果我们想制作角度只有有理三角函数的现代三角函数表，我们可以做到，但这不会使计算的精度显着提高。无论哪种方式，我们都可以获得任何特定应用所需的精度。
稍微挖掘一下就会发现，怀尔德伯格有一个称为“有理三角学”的个人想法。他似乎对涉及无穷大的事物持怀疑态度，包括具有无限、不循环小数表示的无理数。从粗略阅读他撰写的关于有理三角学的一章来看，我没有看到该理论有任何明显的错误，但它似乎是针对一个不存在的问题的解决方案。大多数角的正弦、余弦和正切是无理数这一事实并没有困扰绝大多数使用三角学的数学家、物理学家、工程师和其他人。很难不将他们对普林顿 322 号泥板的研究视为受一种渴望合法化一种在数学界几乎没有吸引力的方法的愿望所驱动。
60 进制比 10 进制更好吗？
不同类型三角函数表的实用性可能是一个见仁见智的问题，但 UNSW 的视频也有一些关于 60 进制相对于我们现在使用的 10 进制系统的准确性的彻头彻尾的谎言。大约在 1:10 处，曼斯菲尔德说：“我们以 10 进制计数，它只有两个精确的分数：1/2，即 0.5，和 1/5。” 我的第一个异议是任何分数都是精确的。数字 1/3 正好是 1/3。曼斯菲尔德明确表示，他所说的 1/3 不是精确分数是指它有一个无限的（0.333…）而不是终止的小数。但是 1/4 呢？那是 0.25，它是终止的，但曼斯菲尔德并不认为它是精确的分数。那么 1/10 或 2/5 呢？这些可以写成 0.1 和 0.4，这看起来非常精确。
令人难以辩驳的是，当他赞扬 60 进制中可用的许多“精确分数”时，他并没有应用相同的标准。在 60 进制中，1/8 将被写成 7/60+30/3600，这与在 10 进制中将 1/4 写成 0.25 或 2/10+5/100 的想法相同。为什么 1/8 在 60 进制中是精确的，而 1/4 在 10 进制中不是精确的？很难相信这是一个数学家犯下的诚实错误，反而让我更加怀疑他的工作是受某种议程驱动的。
普林顿 322 号泥板是一件非凡的文物，我们有很多东西可以从中学习。当我教数学史时，我喜欢在学期开始时让我的学生阅读一些关于它的论文，以展示有多少学术研究致力于理解这样一份小文件，以及成就卓著的学者们可能对它的含义存在分歧。它展示了不同文化进行数学运算的方式以及出色的计算能力的差异。它提出了关于古代美索不达米亚人如何进行计算和几何学研究的问题。但用它来推销一种有问题的个人理论不会让我们更接近答案。